Основні положення

Завдання 1 варто виконувати після вивчення теми «Ймовірність випадкової події». Для розв'язання задач варто використовувати класичний метод визначення ймовірності випадкової події

Р(А)= m/n , (1)

де n – загальне число можливих наслідків досліду; m – число наслідків досліду, які сприятливі появі події А;

а також теореми додавання й множення.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А*В) (2)

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (3)

P(A) = 1 - P((A).

Р(А * В) = Р(А) * Р(В|А); (4)

формулу повної ймовірності:

Р(А)= Р(H₁)*Р(А|H₁)+Р(H₂)*Р(А|H₂)+ … +Р(H_N)*Р(А|H_N); (5)

формулу Бейеса

Р(Н_i|А)= Р(Н_i)*Р(А|Н_i) /Р(Н_i)*Р(А|Н_i) (6)

формулу Бернуллі

(7)

де - ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно m разів;

- число сполучень з n елементів до m;

р – імовірність появи події А в одному досліді;

q = 1 – p – імовірність не появи події А в одному досліді.

Приклад 1. Три спортсмени стріляють по мішені по одному разу. Імовірність влучення для першого з них дорівнює 0,8; для другого - 0,85; для третього - 0,9. Визначити ймовірність того, що:

1. всі спортсмени влучать в мішень;

2. жоден не влучить;

3. тільки один спортсмен влучить в мішень;

4. тільки два спортсмени влучать в мішень;

5. хоча б один спортсмен влучить в мішень.

Рішення. Позначимо події А₁, А₂, А₃ — перший, другий, третій спортсмени відповідно влучать в мішень. Тоді

Р(А₁)=0,8; Р(А₁)=0,2;

Р(А₂)=0,85; Р(А₂)=0,15;

Р( А₃)=0,9; Р(А₃)=0,1.

1. Ймовірність того, що всі спортсмени влучать в мішень, знаходимо за теоремою множення ймовірностей для незалежних подій.

Р(А₁*А₂*А₃)= 0,8 * 0,85 * 0,9 =0,612.

2. Ймовірність того, що жоден із спортсменів не влучить в мішень, знаходимо за теоремою множення для незалежних подій

Р(А₁*А₂*А₃)= 0,2 * 0,15 * 0,1 =0,003.

3. Для обчислення ймовірності того, що тільки один спортсмен влучить в мішень, використаємо теореми додавання для неспільних подій і множення для незалежних подій:

р=Р( А₁)*Р(А₂)*Р(А₃)+Р(А₁)*Р( А₂)*Р(А₃)+Р(А₁)*Р(А₂)*Р( А₃) =

=0,8*0,15*0,1+0,2*0,85*0,1+0,2*0,15*0,9= 0,056.

4. Для обчислення ймовірності того, що тільки два спортсмени потраплять в мішень, також використаємо теореми додавання для неспільних подій і множення для незалежних подій:

р=Р( А₁)*Р(А₂)*Р(А₃)+Р(А₁)*Р( А₂)*Р(А₃)+Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃) =

= 0,8*0,85*0,1+0,2*0,85*0,9+ 0,8*0,15*0,9= 0,329.

5. Подія “хоча б один із спортсменів влучить в мішень” протилежна події ”жоден із спортсменів не влучить в мішень”. Таким чином, маємо

р= 1 - Р(А₁*А₂*А₃)= 1 - 0,003 =0,997.

Приклад 2. У складальний цех надходять однакові деталі, які виробляють у двох інших цехах заводу. Перший цех доставляє 70%, а другий - 30% деталей. При цьому перший цех виробляє 95% деталей вищої якості, а другий - 90%. Навмання обрана деталь виявилася вищої якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь: 1) з першого цеху; 2) із другого цеху.

Рішення. Позначимо подію А - деталь вищої якості. Висуваємо гіпотези: гіпотеза Н₁ - деталь із першого цеху; гіпотеза Н₂ - деталь із другого цеху. Тоді, апріорні ймовірності гіпотез: Р(Н₁) = 0,7, Р(Н₂) = 0,3. Умовні ймовірності події А при кожній з гіпотез відповідно дорівнюють: Р(А/Н₁) = 0,95, Р(А/Н₂) = 0,9. За формулою Бейеса маємо:

імовірність того, що деталь із першого цеху -

Р(Н₁/А)= Р(Н₁)*Р(А/Н₁) / [Р(Н₁)*Р(А/Н₁)+Р(Н₂)*Р(А/Н₂)] =

= 0,7*0,95/(0,7*0,95+0,3*0,9) = 0,71;

імовірність того, що деталь із другого цеху -

Р(Н₂/А)= Р(Н₂)*Р(А/Н₂) / [Р(Н₁)*Р(А/Н₁)+Р(Н₂)*Р(А/Н₂)] =

= 0,3*0,9/(0,7*0,95+0,3*0,9) = 0,29.

Завдання 2 і 3 варто виконувати після вивчення теми «Випадкова величина і її закони розподілу». Нагадаємо основні положення.

Випадковою називають величину, що в результаті досліду може прийняти те або інше значення. Розрізняють дискретні й безперервні випадкові величини.

Законом розподілу випадкової величини називають будь-яке правило, що дозволяє знаходити ймовірності різних значень випадкової величини.

Ряд розподілу - таблиця, у верхньому рядку якої перераховано всі значення випадкової величини х₁, х₂, …, х_n у порядку їхнього зростання, а в нижньому - імовірності появи цих значень р₁, р₂, …, р_n:

хi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Функція розподілу випадкової величини Х це ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, менше x:

F(х) = P{X  x} (8)

Властивості:

1. Значення функції розподілу належать відрізкові [0; 1].

2. Функція розподілу - неубутна функція, тобто

F(x₂)  F(x₁), якщо x₂ > x₁ .

3. Імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, укладене в інтервалі (, ), дорівнює приростові функції розподілу на цьому інтервалі:

P{ ≤ X ≤ }= F() - F().

4. Якщо всі можливі значення випадкової величини X належать інтервалові (- , + ), то при мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, а при плюс нескінченності — одиниці, тобто F(- ) = 0;F(+ ) = 1.

Щільність розподілу – це похідна від F(х) по х :

f(x) = d(х) / dx. (9)

Властивості:

1. Щільність розподілу невід’ємна, тобто f(x)  0 як похідна неубутної функції.

2. Інтеграл від щільності розподілу в нескінченних межах дорівнює одиниці:

. (10)

3. Ймовірність влучення безперервної випадкової величини в інтервал (, )

. (11)

4. Функцію розподілу визначають співвідношенням:

(12)

Числові характеристики випадкової величини:

математичне сподівання Х

(13)

(14)

другий початковий момент ₂:

(15)

(16)

дисперсія

(17)

, (18)

де ;

D_x = ₂ – m_x².

середнє квадратичне відхилення

_х = D_x. (19)

Приклад 3. Задано ряд розподілу

хі	1,4	1,8	2,3	3,2
рі	0,3	0,4	0,2	0,1

Знайти математичне сподівання М[Х], дисперсію D[Х] і середнє квадратичне відхилення [Х].

Рішення. Математичне сподівання випадкової величини Х

М[Х]=х₁*р₁+х₂*р₂+х₃*р₃+х₄*р₄=

= 1,4 * 0,3 + 1,8*0,4 + 2,3 * 0,2 + 3,2 * 0,1 = 1,92.

Дисперсія

D[Х] = (х₁ - М[Х])² * р₁ + (х₂ - М[Х])² * р₂ + (х₃ - М[Х])² р₃ + (х₄* - М[Х])²р₄ =

= (1,4-1,92) ² * 0,3 + (1,8 -1,92) ² * 0,4 + (2,3-1,92) ² * 0,2 + (3,2-1,92) ² * 0,1 = 0,28.

або М[Х²]= 1,4² * 0,3 + 1,8² * 0,4 + 2,3² * 0,2 + 3,2² * 0,1 = 3,966;

D[Х] = М[Х²] – (М[Х])² = 3,966 – 1,92² = 0,28.

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х:

[Х]=D[Х] = 0,28 = 0,53.

Приклад 4. Випадкову величину X задано функцією розподілу:

Знайти щільність розподілу ймовірностей, визначити математичне сподівання, дисперсію, побудувати графіки функцій f(х) і F(х)

Рішення

а) Знайдемо щільність ймовірностей:

б) Визначимо математичне сподівання X:

Знайдемо дисперсію Х:

.

в) Побудуємо графіки функцій f(х) і F(х).

F(x)

f(x)

1

1

X

X

0

0

2

2

1

1

Рис. 1.

Завдання 4 варто виконувати після вивчення теми «Основні закони розподілу випадкових величин».

Біноміальний закон розподілу.

(20)

де 0  р  1; q = 1 – p.

Закон розподілу Пуассона.

(21)

Експонентний закон розподілу

F(t) = 1  e^t , (22)

щільність розподілу T

f(t) = d(t)/dt = e^{ t} , (23)

де  – параметр розподілу (середнє число подій в одиницю часу).

Нормальний закон розподілу ймовірностей

(24)

Для визначення ймовірностей, пов'язаних з нормально розподіленою випадковою величиною користуються функцією Лапласа:

, (25)

значення якої протабульовані й наведені в додатку 2.

Ймовірність влучення випадкової величини Х на ділянку значень (,) виражають через функцію Лапласа формулою:

(26)

Закон рівномірної щільності.

(27)

Приклад 5. Відомі імовірнісні характеристики нормально розподіленої випадкової величини Х: m =17; =0,6. Знайти ймовірність події Р(<X<); а також імовірність того, що Р(|х-m| <  ), якщо  =16,8;  = 17,2; =0,3.

Рішення.

Обчислимо ймовірність того, що Х належить інтервалу (16,8; 17,2).

=

Визначимо ймовірність того, що х відхилиться свого середнього значення m менш чим на 

.

Завдання 5 і 6 варто виконувати після вивчення теми «Елементи математичної статистики». Нагадаємо основні положення й визначення.

Генеральною сукупністю називають сукупність об'єктів, з яких проводять вибірку.

Вибірковою сукупністю, або просто вибіркою, називають сукупність випадково відібраних об'єктів.

Обсягом сукупності (вибіркової або генеральної) називають число об'єктів цієї сукупності.

Варіантой називають кожне окреме значення досліджуваної ознаки

x₁, x₂, …, x_n...

Частотою називають число, що показує, скільки разів зустрічається та або інша варіанта. Частоти позначають відповідно m₁, m₂, …, m_n...

Варіаційний ряд являє собою таблицю, в одному рядку якої розташовують варіанти в зростаючому або убутному порядку, а в іншій — відповідні їм частоти.

Однією з найважливіших характеристик варіаційного ряду є середня величина. Середню арифметичну визначають за формулами:

незважена

(28)

зважена

(29)

Дисперсію невзважену і зважену обчислюють за формулами:

(30)

Середнє квадратичне відхилення визначається як квадратний корінь з дисперсії.

 = D (31)

Оцінки числових характеристик випадкових величин і їхні властивості.

З n дослідів оцінку математичного сподівання можна визначити як середнє арифметичне значення Х.

х = , (33)

де 1/n - імовірність появи значення x_i у кожному з n дослідів, якщо всі значення Х різні.

, (34)

Оцінка математичного сподівання, отримана за формулою (33), є лінійною функцією n незалежних випадкових величин x_i, тому вона сама є випадковою величиною, а отже має свої числові характеристики: математичне сподівання й дисперсію:

(35)

₍₃₆₎

_{Інші оцінки числових характеристик визначають за формулами:}

(37)

(38)

Довірчий інтервал і довірча ймовірність

Нехай для оцінки математичного сподівання m_x^* потрібно визначити можливу помилку l. Призначають досить велику ймовірність  таку, що подію з цією ймовірністю можна вважати практично достовірною.  - імовірність того, що помилка не перевищує  l, для неї справедлива рівність

P{ m_x - m_x*  l} = . (39)

Більші за абсолютним значенням помилки, чим  l, будуть зустрічатися з імовірністю

 = 1 - .

Перепишемо (39) у вигляді

P{ (m_x*- l)  m_x  (m_x* + l)} = . (40)

Рівність (40) означає, що з імовірністю  невідоме значення параметра m_x буде перебувати в інтервалі L=[m_x*- l, m_x* + l].

Таким чином, значення  і L характеризують ступінь упевненості й величину погрішності при визначенні дійсного значення шуканого параметра m_x. При цьому величину  називають довірчою ймовірністю, а величину L - довірчим інтервалом.

Приклад 6. Випадкову величину Х нормально розподілено з відомим середнім квадратичним відхиленням , вибірковим середнім х_В, обсягом вибірки n. Знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання m генеральної сукупності з довірчою ймовірністю  , якщо  = 4; х_В =15,6; п = 64; =0,95.

Рішення. Для визначення довірчого інтервалу використаємо формулу

Р(|х_В-m|<) =  = 2*Ф(* п /).

Довірчий інтервал знаходимо у вигляді х_В-<m<х_В+ .

За умовою 2*Ф(* п /)=0,95, звідки Ф(* п /)= 0,475. З таблиці значень функції Лапласа знаходимо (* п /)=1,96;

Тоді, =1,96*4 /64=0,98.

Довірчий інтервал для оцінки m, що відповідає довірчої ймовірності =0,95:

15,6-0,98 < m < 15,6+0,98,

або

14,62 < m < 16,58.

Приклад 7. За заданим статистичним розподілом вибірки

xі	10	15	20	25	30
mi	6	16	50	24	4

знайти вибіркову середню х_В, дисперсію D_В, середнє квадратичне відхилення _В.

Рішення. Значення вибіркових середньої, дисперсії, середнього квадратичного відхилення можна знайти за формулами:

_В = D_В

де n - обсяг вибірки , n =  m_i.

Для спрощення обчислень введемо умовну варіанту

x_і' = (x_і-a)/x,

де а – варіанта з найбільшою частотою m_i; x - крок варіювання:

x = x_і+1 - x_і.

За допомогою умовної варіанти знаходимо х_В і D_В за формулами:

.

Шукані значення вибіркових середньої й дисперсії визначають таким чином:

х_В = х_В' * x + а, D_В=D_В' * (x)².

Найбільшу частоту (m₃ = 50) має х₃ = 20, тому в якості а приймаємо 20; x=5, тоді x_і' = (x_і-20)/5.

Розрахунки виконуємо в таблиці

хi	mi	xi'	xi'*mi	(xi')2*mi
10	6	-2	-12	24
15	16	-1	-16	16
20	50	0	0	0
25	24	1	24	24
30	4	2	8	16
	100		4	80

х_В' = 4 / 100 = 0,04, D_В'=80 / 100 - (0,04) ²=0,798.

Шукані значення вибіркових характеристик:

х_В = 0,04*5+20=20,2;

D_В =0,798*5²=19,96;

_В = 19,96 = 4,47.

Завдання 7 варто виконувати після вивчення теми «Елементи регресійного й кореляційного аналізу».

Кореляційна залежність.

Кореляційною залежністю Y від Х називають функціональну залежність

y_Х = (x) (41)

Це рівняння називається рівнянням регресії Y на Х, функція (x) - регресією Y на Х.