2. Аксіоми статики

В основі статики лежать експериментально і логічно встановлені твердження (аксіоми), які відображують властивості сил, що діють на тверде тіло.

Аксіома 1. (Про дві сили). Дві сили, прикладені до твердого тіла, будуть зрівноважені (еквівалентні нулю) тоді і тільки тоді, коли вони рівні за модулем, діють по одній прямій і спрямовані в протилежні боки (рис. 1.2):

Рис. 1.2.

Аксіома 2. (Про приєднання або вилучення зрівноважених сил). Не змінюючи кінематичного стану твердого тіла, до системи сил, що діє на нього, можна приєднувати або вилучати з неї будь яку зрівноважену систему сил (рис1.3):

Рис. 1.3.

Нехай до твердого тіла прикладена система сил ( ), під дією якої вона знаходиться в рівновазі. Прикладемо до тіла ще систему сил ~0. Тіло збереже свій стан під дією системи . Отже ) ~ .

З цієї аксіоми випливає як наслідок теорема: не змінюючи дії сил на тіло, точку прикладання сили можна переносити по лінії її дії.

Доведення. Нехай на абсолютне тверде тіло діє сила , прикладена в точці А (рис. 1.4, а). У точці В , яка лежить на лінії дії сил , прикладемо дві зрівноважені сили причому F₁ = F₂ = F (рис. 1.4,б). Система сил ~ на підставі аксіоми 2. Сили є також зрівноваженими згідно з аксіомою 1 і за аксіомою 2 відкинемо. Таким чином, залишається сила , прикладена в точці В (рис.1.4,в); ~ , що необхідно було довести. Отже силу можна переносити по лінії її дії, тобто вона є ковзним вектором.

Рис. 1.4.

Зауважимо, що аксіоми 1,2 і наслідок справедливі лише для абсолютно твердих тіл.

Аксіома 3 (про паралелограм сил). Дві сили, прикладені до тіла в одній точці, мають рівнодійну, яка прикладена в тій же точці і визначається діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах. Згідно з даною аксіомою система сил ~ (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

За правилом додавання векторів рівнодійна дорівнює геометричній сумі цих сил:

= + .

(1.1)

Модуль рівнодійної визначається за формулою

,

(1.2)

де α – кут між векторами і .

Аксіома 4 (про рівність дії та протидії). Сили взаємодії двох тіл рівні за модулем і спрямовані по одній прямій в протилежні боки.

Якщо тіло А діє на тіло В з силою , то тіло В діє на тіло А з силою , причому , а F_A = F_B (рис.1.6). Однак ці сили не зрівноважуються, бо прикладені до різних тіл, тобто система сил не еквівалентна нулю. Ця аксіома є одним з основних законів механіки (третій закон Ньютона).

Рис. 1.6.

Аксіома 5 (принцип твердіння). Якщо не абсолютне тверде тіло (тіло, що деформується) перебуває в стані рівноваги, то рівновага його не порушиться, коли воно затвердне.

Ця аксіома має велике значення при вивченні рівноваги тіл, які деформуються. З неї випливає, що умови рівноваги сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, поширюється і на вивчення рівноваги не абсолютно твердих тіл, тобто аксіома встановлює зв’язок між статикою абсолютно твердого тіла і статикою тіл, які деформуються.

Отже, умови рівноваги сил, прикладених до твердих тіл, є необхідними, але не достатніми для деформованих тіл. Наприклад, для рівноваги невагомого стержня необхідно і достатньо, щоб сили, прикладені до його кінців, були взаємно зрівноваженими (рис. 1.7,а).

Рис. 1.7.

Однак для невагомої нитки цієї умови недостатньо. Необхідно, щоб сили, які діють на нитку, були тільки розтягуючи ми (рис. 1.7,б), в той час як для стержня вони можуть бути і стискаючими.

Статика твердих тіл буде використана при вивчені рівноваги деформованих тіл в опорі матеріалів.