6. Динамічне урівноваження мас. Положення про дві точечні маси

З рівнянь (6.23) випливає, що додаткові динамічні реакції будуть відсутні при обертанні тіла, якщо виконуються умови:

(6.24)

Рівності (6.24) виражають умови того, що нединамічні реакції (6.21), при обертанні твердого тіла з постійною кутовою швидкістю, дорівнюють статичним, тобто умови динамічної урівноваженості мас тіла при його обертанні навколо осі z.

Умови і означають, що центр мас тіла має знаходитись на осі обертання, а умови і - що вісь обертання має бути головною віссю інерції тіла для початку координат А . Одночасне виконання умов (6.24) означає що вісь обертання Oz є головною центральною віссю інерції тіла. Таким чином, динамічні реакції, діючи на вісь обертового тіла, будуть дорівнювати статичним, якщо вісь обертання є однією з головних центральних осей інерції тіла. Цей висновок є справедливим і у випадку, коли тіло обертається нерівномірно.

Розглянута задача дозволяє одночасно з’ясувати механічний зміст величин від центрових моментів інерції і , а саме: відцентрові моменти інерції і характеризують ступінь динамічної неурівноваженості мас тіла при його обертанні навколо осі z.

Доведемо практично дуже важливе положення: будь-яку вісь, проведену в тілі можна зробити головною центральною віссю інерції додаванням до тіла двох точених мас.

Нехай для тіла маси М , яке обертається навколо осі z, величини , відмінні від нуля і відомі. Додамо до тіла дві маси i , в точках з координатами i відповідно, які розташовані на тілі таким чином, що для них виконуються рівності:

(6.25)

При цьому для системи трьох тіл, масами , координати центра мас якої позначимо , а відцентрові моменти інерції , згідно (6.25) дістанемо:

тобто вісь обертання Oz є головною центральною віссю інерції і реакції, при обертанні тіла маси = , будуть дорівнювати статичним.

Але рівняння (6.25) включають вісім невідомих, тому для розв’язку задачі динамічної урівноваженості мас тіла можна, наприклад, задати величини мас m₁ i m₂ і їх положення вздовж осі обертання . Останні чотири невідомих величини знайдемо з рівнянь (6.25).

Такий метод урівноваження мас широко використовується в техніці для урівноваження колінчастих валів, кривошипів, спарників і т. і. При цьому остаточно балансировка проводиться на спеціальних стендах.

Слід зауважити , що для визначення тисків на вісь у конкретних випадках кожного разу безпосередньо використовують принцип Даламбера, але не рівняння (6.21).

При розв’язуванні задач, крім загального випадку, коли вісь обертання не є ні головною, ні центральною віссю інерції тіла, можуть трапитися такі окремі випадки:

1. Вісь обертання є головною віссю інерції тіла ( , ), але не центральною. Тоді додаткові динамічні реакції опор зводяться до однієї рівнодійної сили:

(6.26)

Опорні і додаткові динамічні реакції в цьому випадку являють собою паралельні сили, величини яких обернено пропорційні віддалям від опор до лінії дії рівнодійної сили.

2. Вісь обертання є центральною але не головною віссю інерції тіла. У цьому випадку додаткові динамічні реакції зводяться до пари сил, момент якої дорівнює:

.

(6.27)

Проекції цього моменту на координатні осі відповідно дорівнюють:

.

(6.28)

Реакція кожної з опор у цьому випадку дорівнює:

3. Вісь обертання є головною і центральною віссю тіла. У цьому випадку головний вектор і головний момент динамічних додаткових реакцій дорівнюють нулю. Вісь, яка не несе динамічних тисків, називається вільною віссю.