§2. Действия с матрицами Определение 2.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, обозначаемая следующим образом: .

Матрица А содержит т строк и п столбцов. Говорят, что она имеет размер , для неё принято также обозначение .

Определение 2.2. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, элементы которой есть суммы соответствующих элементов матриц слагаемых, то есть

Принято обозначение , поэтому, если

, то .

Свойства операции сложения матриц

1. – коммутативность (переместительный закон) сложения.

2. – ассоциативность (сочетательный закон) сложения.

Определение 2.3. Произведением матрицы А на вещественное число λ называется матрица того же размера, обозначаемая , элементы которой есть произведения соответствующих элементов матрицы А на это число λ.

Таким образом, .

Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями с матрицами

Пример 2.1. Даны две матрицы: А и В. Найти матрицу , если A = , B = , Е – единичная матрица.

►

.◄

Определение 2.4. Произведением матрицы А размера на матрицу В размера называется матрица С размера , элемент которой , находящийся в i-ой строке и в j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В:

.

Принято обозначение С=АВ. Рассмотрим частный случай произведения матрицы-строки на матрицу-столбец:

и .

Матрица имеет размер , причём её элемент . Таким образом,

.

А

Рис. 2.1. К правилу умножения матриц

i

j

Правило для вычисления произведения матриц схематично изображено на рис. 2.1. При умножении матриц обычно говорят, что элемент матрицы стоящий в i-ой строке и в j-ом столбце, является «произведением i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В».

Свойства операции умножения матриц

1. (АВ)С=А(ВС) (ассоциативность).

2. 

3. Для любой квадратной матрицы А п-го порядка справедливо равенство

, где – единичная матрица п-го порядка.

Замечание 2.1. В общем случае действие умножения матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. произведение матриц АB не всегда равно произведению BА, последнее из них может даже не существовать. Вычислим, например, произведение D матриц и ,

.

Таким образом, ≠

Пример 2.2. Даны матрицы: A = , B = . Найти матрицу

►Воспользуемся приведённым выше правилом умножения. Так, например, чтобы найти элемент , следует умножить первую строку матрицы А на третий столбец матрицы В:

.

Аналогично находим остальные элементы искомой матрицы С:

.◄

Пример 2.3. Дана матрица . Найти .

►

.◄

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если . В противном случае матрица А называется вырожденной (особенной).

Для любой невырожденной матрицы А существует единственная матрица такая, что справедливо равенство:

,

Е– единичная матрица. Матрица называется обратной к матрице А. Для справедливо равенство:

, (2.1)

где алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Пример 2.4. Дана матрица , найти матрицу .

►Вычислим определитель матрицы А:

Вычисляя определитель, мы к первому столбцу прибавили второй, умноженный на 2, а от третьего столбца вычли второй, умноженный на 3. После этого полученный определитель разложили по первой строке. Так как , то существует единственная обратная матрица . Применим формулу (2.1), для этого найдем все алгебраические дополнения элементов матрицы А:

.◄

Пример 2.5. Решить матричное уравнение , где

, .

►Умножим левую и правую части данного матричного уравнения слева на матрицу и используем приведённые выше свойства умножения матриц:

.

Итак, чтобы найти искомую матрицу , следует умножить матрицу В слева на матрицу, обратную к матрице А, которая была найдена в предыдущем примере:

.◄