2.Определения пределов.

Пусть задана числовая функция с областью определения А и

- предельная точка множества А. В этом параграфе будут приведены определения предела функции при , стремящемся к . На интуитивном уровне должно быть понятно, что это означает, что при приближении к значение функции становится сколь угодно близким к

Например, нетрудно догадаться, что при , стремящемся к 3 пределом функции должно быть число 9= .

Определение 2.1. Пусть - предельная точка области определения А функции (всюду ниже будем это предполагать, не оговаривая особо). Тогда называется пределом функции при , стремящемся к , (это обозначается так: ), если для (любой) -окрестности (существует) такая -окрестность точки что из того, что , следует, что) .

Замечание 2.1. Если в приведённом определении - и -окрестности заменить на окрестности точек и соответственно, то получится определение, эквивалентное приведённому.

Замечание 2.2. В приведённом определении каждая из величин и может быть как конечной, так и равной + т.е. оно содержит шестнадцать определений предела.

Приведённое определение называется определением предела на языке окрестностей.

Учитывая то, какими неравенствами описываются - и -окрестности конечных точек и бесконечностей, приведём теперь все шестнадцать определений пределов на так называемом языке , эквивалентные определению 2.1. Некоторые из них проиллюстрируем рисунками.

Всюду ниже величины и предполагаются конечными.

Определение 2.2. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

-6-

Запись « » означает, что зависит от . Всюду ниже мы для краткости

будем писать просто

Рис.1

Заштрихованный интервал на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством

Пример 2.1. .

Для произвольного достаточно малого решением неравенства будет интервал, описываемый неравенством , или откуда видно, что если положить , то из того, что .

Определение 2.3. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.2

-7-

Заштрихованный интервал на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством

Пример 2.2.

Действительно, для неравенство выполнено, как только , если ; если же , то при любом

Определение 2.4. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.4 является зеркальное отражение рисунка 2 относительно оси OX.

Пример 2.3.Очевидно, что

Определение 2.5. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.3

Заштрихованное множество на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством Заметим, что если

,то R.

-8-

Определение 2.6. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.4

На осях OY и OX заштрихованы соответственно интервалы и ( . Это соответственно окрестности и , которые описываются неравенствами и .

Пример 2.4.

Действительно, для неравенство , как только .

Определение 2.7. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.5

Заштрихованные на осях OX и OY множества – это и ( = .

Определение 2.8. Говорят, что , если для такое,

-9-

что из того, что

Иллюстрацией определения 2.8 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно оси ОХ.

Пример 2.5. .

Действительно, для из того, что = ,

Определение 2.9. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Пример 2.6. Пусть , если рациональное, и , если рациональное. Очевидно, что , так как для из того, что = .

Определение 2.10. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.10 является зеркальное отражение рисунка 4 относительно оси ОY.

Пример 2.7.

Определение 2.11. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.11 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно оси ОY.

Определение 2.12. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.12 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно осей ОY и ОХ.

Пример 2.8. .

Определение 2.13. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

-10-

Пример 2.9. Для функции , рассмотренной в примере 2.6, имеем: .

Определение 2.14. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Нетрудно понять, что .

Пример 2.10. (см. примеры 2.4 и 2.7).

Определение 2.15. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Определение 2.16. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Опять же,

Пример 2.11. .

Определение 2.17. Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Очевидно, что

Пример 2.12. Для функции , рассмотренной в примере 2.6, имеем: .

Приведём теперь определения односторонних пределов.

Определение 2.18. называется левосторонним (правосторонним) пределом функции при , стремящемся к слева (справа), если для такое, что из того, что .

Левосторонний и правосторонний пределы обозначаются соответственно

и .

Определение 2.19. Говорят, что ( , если для такое, что из того, что -11-

.

Определение 2.20. Говорят, что , ( , если для такое, что из того, что .

Определение 2.21. Говорят, что , ( , если для такое, что из того, что

Пример 2.13. Нетрудно понять, что , .

Справедлива следующая

Теорема 2.1 (о единственности предела). Если и , то .

Нетрудно убедиться, что справедлива следующая

Теорема 2.2. .