Тема 1.3. Метод Гаусса
Метод Гаусса является одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения линейных систем. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система (1.7) приводится к треугольному виду; на втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной треугольной системы.
Применим данный метод д ля решения системы (1.7).
Пусть в системе (1.7) а 11 не равно 0. Этого можно добиться несколькими способами, в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х1, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а 11 , т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а 11 =1.
Для определенности, выберем неизвестное х1 так, чтобы коэффициент при нем не был равен 0.
Исключим теперь х1 из остальных уравнений системы. Будем умножать первую строку расширенной матрицы (1.9)(в нашем случае строка имеет вид- 1.10) последовательно на а21, а31,..., а n 1 и вычитать соответственно из 2-й, 3-й и т.д. строк и, наконец, из последней строки. Преобразованная расширенная матрица будет соответствовать системе уравнений с n неизвестными:
Применяя предложенным метод исключения теперь ко второй, третьей и т.д. строкам, получаем систему вида
Возможны следующие случаи.
1. Одна из строк расширенной матрицы соответствует уравнению вида: 0+0+0+...+0= b'r . Причем b'r не равен 0. В этом случае система несовместна.
2. Последнее уравнение системы имеет вид: a' nn xn = b'n
В этом случае получаем единственное решение.
Тема 1.4. Определители и их свойства
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
Определителем III-го порядка соответствующим квадратной матрице III-го порядка, называется число
Аналогично можно ввести понятие определителя n-го порядка, соответствующего квадратной матрице n-го порядка.
Вычисление определителей проводится путем последовательного понижения порядка определителя с использованием элементарных преобразований.
О. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.
О. Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на (-1)k, где k- сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.
Обобщая данные определения для определителя n- го порядка, получаем следующее определение.
О. Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, который получен из исходного путем вычеркивания строки с номером i и столбца с номером j.
Свойства определителей
1. При транспонировании (замене строк определителя на соответствующие столбцы) определитель не изменится.
2. Разложение определителя по любой строке или любому столбцу: определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.
3. При перестановке двух строк или столбцов абсолютная величина определителя не изменится, а знак определителя меняется на обратный.
4. Общий множитель строки или столбца можно вынести за знак определителя.
5. Свойство линейного преобразования в определителе . Определитель не изменится, если к какой- либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец) предварительно умноженную на какое- либо число.
6. Если элементы одной строки равны элементам другой строки определителя, то определитель равен нулю .
