3. Философские проблемы математики

3.1. Образ математики как науки: философский аспект. Проблемы философии и методологии математики

Влияние потребностей и запросов других наук, техники на развитие математики. Математика как язык науки. Математика и естествознание. Математика и технические науки. Математика и социально-гуманитарные науки.

Процесс математизации научных знаний. Три этапа математизации знания (феноменологический, модельный, фундаментально-теоретический).

Математика как феномен человеческой культуры. Практическая обусловленность её возникновения. Математика и философия. Различие взглядов на математику философов и ученых (И.Кант, О.Конт, А.Пуанкаре, А.Эйнштейн, Н.Н.Лузин).

Отношение математики к действительности. Предмет и специфика математики. Абстракции и идеальные объекты в математике.

Нормы и идеалы математической деятельности. Специфика методов математики. Доказательство - фундаментальная характеристика математического познания. Понятие аксиоматического построения теории. Основные типы аксиоматик (содержательная, полуформальная и формальная). Логика как метод математики и как математическая теория. Современные представления о соотношении индукции и дедукции в математике. Аналогия как общий метод развития математической теории. Обобщение и абстрагирование как методы развития математической теории. Место интуиции и воображения в математике. Современные представления о психологии и логике математического открытия Мысленный эксперимент в математике. Доказательство с помощью компьютера.

Структура математического знания, его классификация. Основные математические дисциплины. Историческое развитие логической структуры математики. Групповая классификация геометрических теорий (программа Ф.Клейна). Структурное и функциональное единство математики.

Основные проблемы философии и методологии математики: установление сущности математики, ее предмета и методов, места математики в науке и в культуре Фундаменталистская и нефундаменталистская (социокультурная) философия математики. Философия математики как раздел философии и как общая методология математики.

Методология математики, ее возникновение и эволюция. Внутренние и внешние функции методологии математики, ее прогностические ориентации.

3.2. Философские концепции математики

Пифагореизм как первая философия математики. Число как причина вещей, как основа вещей и как способ их понимания. Числовой мистицизм. Влияние на пифагорейскую идеологию открытия несоизмеримых величин и парадоксов Зенона. Пифагореизм в сочинениях Платона. Критика пифагореизма Аристотелем.

Эмпирическая концепция математических понятий у Аристотеля. Первичность вещей перед числами. Объяснение строгости математического мышления. Обоснование эмпирического взгляда на математику у Ф.Бэкона и И.Ньютона. Математический эмпиризм XVII-XIX вв. Эмпиризм в философии математики XIX столетия (Дж.Ст.Милль, Г.Гельмгольц, М.Паш). Современные концепции эмпиризма: натурализм Н.Гудмена, эмпирицизм И.Лакатоса натурализм Ф.Китчера. Недостатки эмпирического обоснования математики.

Философские предпосылки априоризма. Установки априоризма. Умозрительный характер математических истин. Априоризм Г.Лейбница. Обоснование аналитичности математики у Лейбница. Понимание математики как априорного синтетического знания у И.Канта. Неевклидовы геометрии и философия математики Канта. Вариант априоризма Э.Гуссерля. Проблемы феноменологического обоснования математики.

Истоки формалистского понимания математического существования. Идеи Г.Кантора о соотношении имманентной и транзиентной истины. Формалистское понимание существования (А.Пуанкаре и Д.Гильберт).

Современные концепции математики. Эмпирическая философия математики. Критика еаклидианской установки и идеи абсолютного обоснования математики в работах И.Лакатоса. Априористские идеи в современной философии и методологии математики. Программа Н.Бурбаки и концепция математического структурализма. Математический платонизм. Реализм как тезис об онтологической основе математики. Радикальный реализм К.Геделя. Реализм и проблема неичдуктивистского обоснования теории множеств. Физикализм. Социологические и социокультурные концепции природы математики.