Лабораторная работа №2 Решение нелинейных уравнений методом половинного деления

Краткая теория

Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1).

Корнем уравнения называется любое число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Корень уравнения (1) называется также нулем функции f(x).

Решить уравнение – значит определить, имеет ли оно корни, сколько их и вычислить эти корни с заданной точностью.

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1. отделение корней;

2. уточнение корней.

Отделить корни – значит определить достаточно малые промежутки, в каждом из которых содержится ровно по одному корню данного уравнения.

Графический метод отделения корней основан на том, что графически нуль функции есть абсцисса точки пересечения ее графика с осью абсцисс. Поэтому, чтобы отделить корни графически, достаточно построить отрезки, на которых есть точки пересечения графика с осью Ox. Часто уравнение (1) приводят к виду f₁(x)=f₂(x) и определяют корни уравнения (1) как абсциссы точек пересечения графиков функций y=f₁(x) и y=f₂(x).

Аналитический метод отделения корней основан на известной теореме: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает в концах промежутка значения разных знаков, то существует по крайней мере одно число x₀ на интервале (a,b) такое, что f(x₀)=0. Если функция f(x) монотонна на этом интервале, то такое число х₀ единственно.

Уточнить корень – значит найти такое приближенное значение корня х, для которого выполняется неравенство: |x-x₀|≤ε, где ε – заданная точность.

Метод половинного деления

Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b)<0 (2).

Алгоритм метода

1. Найти середину отрезка [a,b] ; c=(a+b)/2.

2. Если f(c)=0, то с - точный корень и процесс заканчивается.

3. Иначе если f(a)f(c)>0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).

4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a<=ε), то x=c и процесс заканчивается, иначе идти к п.1.

Решение одного варианта

1. Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления с точностью до 0.01: x⁴-x³-2x²+3x-3=0.

Полагая f(x)= x⁴-x³-2x²+3x-3, имеем f’(x)=4x³-3x²-4x+3.

Найдем нули производной: 4x³-3x²-4x+3=0; 4x(x²-1)-3(x²-1)=0;(x²-1)(4x-3)=0;

x₁=-1; x₂=1; x₃=3/4.

Составим таблицу знаков функции f(x):

x	-∞	-1	3/4	1	+∞
f(x)	+	-	-	-	+

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x₁ (-∞;-1) и x₂ (1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:

x	-2	-1	1	2
f(x)	+	-	-	+

Следовательно, x₁ (-2;-1) и x₂ (1;2).

Уточним один из корней, например, x₁, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

x₁≈-1,73.

Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.

2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.

Перепишем уравнение в виде . Обозначим , и построим графики этих функций:

Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].

Уточним корень на отрезке [2;3]:

Ответ: x₁=0, x₂=2,59, x₃=-2,59.

Задания

1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.

1. 3x⁴+4x³-12x²-5=0

2. 2x³-9x²-60x+1=0

3. x⁴-2x-1=0

4. 2x⁴-x²-10=0

5. 3x⁴+3x³+6x²-10=0

6. x⁴-18x²+6=0

7. x⁴+4x³-3x²-17=0

8. x⁴-x³-2x²+3x-3=0

9. 3x⁴+4x³-12x²+1=0

10. 3x⁴-8x³-18x²+2=0

11. 2x⁴-3x³+8x²-1=0

12. 2x⁴+8x³+3x²-1=0

13. x⁴-4x³-8x²+1=0

14. 3x⁴+4x³-12x²-5=0

15. 2x³-8x²-30x+1=0

16. x⁴-30x-2=0

17. 2x⁴-2x²-7=0

18. 3x⁴+8x³+6x²-10=0

19. x⁴-18x²+6=0

20. x⁴+4x³-3x-7=0

21. x⁴-2x³-x²+3x-3=0

22. 3x⁴+4x³-3x²-17=0

23. 2x⁴-5x³-12x²+2=0

24. 3x⁴+9x³-14x²+1=0

25. x⁴+2x³-x-1=0

26. x⁴+8x³-6x²-72x=0

27. x⁵-x-0,2=0

28. x⁴-3x²+75x-10000=0

2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.

1. (x-3)cosx=1

2. sin(x+π/3)-0.5x=0

3. (x-1)²lg(x+11)=1

4. cos(x+0.5)=x³

5. 5sinx=x-1

6. tg³x=x

7. x²cos2x=-1

8. xlg(x+1)=1

9. x²-20sinx=0

10. 2lgx-x/2+1=0

11. (x-2)cosx=1

12. sin(x-0.5)-x+0.5=0

13. x²-20sinx=0

14. cos(x+0.3)=x²

15. 5sinx=x=1

16. tg²x=x

17. x²sin2x=1

18. xlg(x+2)=1

19. x²-10sinx=0

20. 2lgx-x/2+1=0

21. (x-5)cosx=-1

22. sin(x+5)=0.5x

23. x²lg(x=7)=1

24. cos(x-0.5)=x²

25. (0,2х)³=сosx

26. x-10sinx=0

27. 2lg(x+7)-5sinx=0

28. 1.2-lnx=4cos2x