Контрольная работа № 5.1

Вариант 1

1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если

( )=60⁰

Решение

(

По теореме (о скалярном произведении): = ( )

=2*3*cos60⁰=6*0,5=3

Так как

Так как =0

Таким образом, =2*4+4*3-0-3-2*9+0=-1

2. Дан куб abcda1b1c1d1. Найдите угол между прямыми ad1и вм, где м – середина ребра dd1

Решение

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб

М – середина DD₁

Найти: AD₁^ВМ

Изобразим данные задачи на рисунке

Рассмотрим систему координат А₁В -ось ОХ, А₁D -ось ОУ и А₁А- ось ОZ  пусть ребро куба равно "а" тогда  А₁(0,0,0), А ( 0,0,а), В( а,0,а), М ( 0,а, 0,5а) D₁ (0,а,0)  1) Найдём координаты векторов  АD₁( 0,а,-а) и ВМ( -а,а, -0,5а)  2) Найдём их длины  | АD₁|² = 0²+а² +а² = 2а² тогда | АD₁| =а√2  | ВМ|² = а²+а² +0,25а² = 2,25а² тогда | АD₁| =1,5а  3) cosα = ( 0+а² +0,5а² ) / а√2*1,5а = 1/√2  тогда α =45 градусов ( это угол между векторами)

Контрольная работа № 6.1

Вариант 1

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение

Дано: цилиндр, S_осн=16π см², АА₁В₁В - квадрат

Найти: S_полн

Изобразим данные задачи на рисунке

Sполн=2Sосн+Sбок

Sосн=πR²

16π=πR²

16=R²

R=4, так как осевое сечение квадрат, то сторона квадрата будет равна 8

Sбок=2πRl=2π*4*8=64π, где l – сторона квадрата

Sполн=2*16π+64π=96π (см²)

2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120⁰. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30⁰; б) площадь боковой поверхности конуса.

Решение

Дано: конус, СО=6 см, (CM^CN)= 120⁰, ΔCMN – осевое сечение конуса, (CА^CВ)= 30⁰

Найти: а)S_сеч б) S_бок

Изобразим данные задачи на рисунке

а) ΔCMN – равнобедренный, т.к. CM=CN как образующие.

СО=6 см, (CM^CN)= 120⁰(CM^CО)= 60⁰

ΔCОM – прямоугольный  tg60⁰=MO/CO MO=CO* tg60⁰ MO=R=6

СМ найдем через катет, лежащий против угла 30⁰. СМ=2*СО=12 см. Следовательно, АС=ВС=12 см

S_АВС=1/2*АВ*ВС*sin (CА^CВ)=1/2*12*12*sin30⁰=1/2*144*1/2=36 см²

б) S_бок=πRL, где L – образующая

S_бок=π*6 *12=72 см²

3. Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 450 к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Решение

Дано: шар, d=2m, α=45⁰

Найти: L

Изобразим данные задачи на рисунке

Сечение шара плоскостью - окружность, диаметр которой, образует с диаметром сферы угол 45°. А потому, длина линии пересечения - длина этой окружности L=2πr (см. рис.)

cos45°=2r/2m=r/m =>

r=m*cos45°=m /2. L=2πr=2πm* /2=πm

Контрольная работа № 7.1

Вариант 1

1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара

Решение

Дано: шар, d=H_кон, α=60⁰

Найти: V_кон/V_ш

Изобразим данные задачи на рисунках

Пусть диаметр шара Х, тогда и высота конуса Х. Выразим радиус основания конуса: r=d*1/ . Найдём объём конуса: V=1/3πr²H=π*d²/9.

Найдём объём шара: V_ш=4/3πr³=4/3π

(d/2)³=4πd³/24=πd³/6.

Найдём отношение объёмов: V_кон/V_ш =2/3

2. Объем цилиндра равен 96π см³, площадь его осевого сечения – 48см². Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Решение

Дано: сфера, цилиндр

V_ц=96π см³

S_сеч=48см²

Найти: S_сф

Изобразим данные задачи на рисунке

xy=48,   y = 48/x.

D - диагональ осевого сечения является диаметром шара.

D² = x² + (48/x)² ;       S_сф=πD².

По условию V_ц= 96π.

V_ц = πx²/4 *y = πx²/4*(48/x) = 12πх = 96π;   x=96/12 = 6.

D²=6² +(48/6)² = 6²+8² = 100.

S_сф = πD² = 100π.

20