Пример выполнения работы

1. Используя набор экспериментальных данных (x_i, y_i), приведенных в табл. 12, необходимо построить график (рис. 8) ;

Таблица 12.

xi	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7
yi	5,1	6,4	7,1	9,8	10,7	14,6	15,5	22	24,8	28,7	35,2

Как видно из графика однозначно определить характер зависимости весьма затруднительно.

y

x

Рис. 8. Результаты эксперимента

2. Выбрать вариант модели на основе таблицы с промежуточными значениями переменных

Таблица 13.

№	Хпр	Упр	Уэ(Хпр) или Ур(Хпр)	ΔY
1	2	3	4	5
1	3,74	13,40	10,23	3,16
2	4,50	13,40	14,60	1,20
3	3,11	20,15	7,21	12,94
4	4,50	8,91	14,60	5,69
5	3,11	8,91	7,21	1,70
6	3,74	20,15	10,24	9,92

В четвертом столбце приведены значения функции в промежуточной точке Х_пр. Эти значения определяют следующим образом:

• Если расчетное промежуточное значение для Х равно какому-либо из Х_i, то выбирают Y_э(Х_пр=X_i);

• Если промежуточное значение находится в интервале X_i<X_пр<X_i+1, то значение функции вычисляют на основе линейной интерполяции

Ур(Хпр) = Y_i + (Y_i+1 - Y_i)(X_пр – X_i)/(X_i+1 – X_i)

• Выбираем 3 варианта для которых ΔY = | Yпр – У(Хпр)| = min(варианты 1, 2, 5).

3. Преобразовать переменные для каждого из выбранных вариантов в соответствии с табл. 12 , таким образом, чтобы функциональные зависимости стали линейными и в соответствии с этим заполнить вышеприведенную таблицу, т.е. Y(или y) от X(или x).

Таблица 14.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
xi	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7
yi	5,1	6,4	7,1	9,8	10,7	14,6	15,5	22	24,8	28,7	35,2
X1i=ln xi	0,693	0,916	1,099	1,253	1,386	1,504	1,609	1,705	1,792	1,872	1,946
Y1i=ln yi	1,629	1,856	1,960	2,282	2,370	2,681	2,741	3,091	3,211	3,357	3,561
X2i= xi	2,000	2,500	3,000	3,500	4,000	4,500	5,000	5,500	6,000	6,500	7,000
Y2i=ln yi	1,629	1,856	1,960	2,282	2,370	2,681	2,741	3,091	3,211	3,357	3,561
X3i=1/xi	0,500	0,400	0,333	0,286	0,250	0,222	0,200	0,182	0,167	0,154	0,143
Y3i=1/yi	0,196	0,156	0,141	0,102	0,093	0,068	0,065	0,045	0,040	0,035	0,028

4. По методу наименьших квадратовнеобходимо определить коэффициенты трех полученных линейных эмпирических зависимости для каждого варианта. В качестве примера рассмотрим 2-ю модель (X_2i; Y_2i). Для расчетов заполняем табл. 15.

Таблица 15.

i	xi	xi - xср	yi	(xi - xср)2	(xi - xср) yi
1	2	-2,5	1,629	6,25	-4,07
2	2,5	-2	1,856	4	-3,71
3	3	-1,5	1,960	2,25	-2,94
4	3,5	-1	2,282	1	-2,28
5	4	-0,5	2,370	0,25	-1,19
6	4,5	0	2,681	0	0,00
7	5	0,5	2,741	0,25	1,37
8	5,5	1	3,091	1	3,09
9	6	1,5	3,211	2,25	4,82
10	6,5	2	3,357	4	6,71
11	7	2,5	3,561	6,25	8,90
Σ	49,5	0	28,74	27,5	10,70
xср	4,5	yср	2,612636

Линейная зависимость в данном случае будет выглядеть следующим образом:

Y = d₀ + d₁ (X – X_ср) .

Где d₀ = Y_ср , d₁ =

Полученную зависимость легко преобразовать к привычному виду:

Y= a₀ + a₁X

Линейная зависимость будет иметь вид: Y = 0,861 + 0,389 X .

Первоначальное значение коэффициента:

Исходная зависимость будет иметь вид:

Аналогичным образом находим коэффициенты для других 2-х моделей.

5. Для окончательного выбора наилучшей функции находят коэффициенты для всех вариантов зависимостей и сравнивают их между собой по сумме квадратов отклонений экспериментальных и расчетных значений (см. табл. 16).

Таблица 16.

xi	yi	yi1	yi2	y5i	(yi-yi2)2	(yi-yi2)2	(yi-yi5)2
2	5,1	4,264	5,151	4,866	0,700	0,003	0,055
2,5	6,4	6,047	6,257	6,369	0,125	0,020	0,001
3	7,1	8,045	7,600	8,021	0,893	0,250	0,849
3,5	9,8	10,242	9,232	9,845	0,195	0,322	0,002
4	10,7	12,624	11,214	11,869	3,701	0,265	1,368
4,5	14,6	15,181	13,622	14,129	0,337	0,956	0,222
5	15,5	17,904	16,547	16,667	5,779	1,096	1,361
5,5	22,1	20,786	20,100	19,538	1,727	4,002	6,563
6	24,8	23,820	24,415	22,814	0,960	0,148	3,945
6,5	28,7	27,001	29,657	26,585	2,886	0,916	4,474
7	35,2	30,324	36,025	30,973	23,776	0,680	17,864
				Σ	41,078	8,658	36,703

Вывод: наименьшая сумма квадратов отклонений расчетных значений от результатов эксперимента достигается для второй модели. Это свидетельствует о том, что она наиболее адекватно отражает данные экспериментальных исследований.