Основная часть проведенной работы Постановка задачи
Конструкция рассматриваемого микромеханического гироскопа представлена на рисунке 1:
|
Рисунок 1 – Модель ММГ |
Она представляет собой точечную массу 1 (резонатор), закрепленную в рамке с помощью упругих торсионов, моделируемых пружинами жесткости c. Торсионы, в свою очередь, обеспечивают резонатору одну степень свободы вдоль оси Y и одну степень свободы вдоль оси X (рис. 1).
Целью данной работы является изучения влияние нелинейных деформаций на динамику микромеханического гироскопа в режиме вынужденных колебаний на подвижном основании.
Получение уравнений движения
Кинетическая энергия системы имеет следующий вид:
где: x, y – координаты точечной массы в системе координат, связанной с рамкой; m - масса системы; Ω - угловая скорость основания, на которое помещен гироскоп.
Удельная потенциальная энергия деформации системы записывается следующим образом:
где c – жесткость торсионов; d – параметр, характеризующий нелинейные упругие свойства резонатора.
В таком случае лагранжиан системы равен:
(1)
Используя формализм Лагранжа и учитывая, что на систему действует внешняя вынуждающая сила, моделируемая гармоникой fcosψ, получим дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента микромеханического гироскопа:
(2)
Анализ динамики резонатора
К нормализованной системе:
применим
метод усреднения Крылова-Боголюбова,
для этого приведем её к стандартному
виду посредством перехода от переменных
α, β,
,
к медленным переменным «Амплитуда-фаза»
A,
B,
,
по формулам [2]:
(3)
где
τ = εt
–
«медленное»
время; A,
B
– медленно меняющиеся амплитуды;
,
– фазовые расстройки парциальных
колебаний;
– мгновенная
частота возмущающей силы, зависящая от
«медленного» времени.
После взятия и подстановки всех необходимых производных, проведения алгебраических преобразований и усреднения, в конечном итоге, получена система дифференциальных уравнений движения резонатора в медленных переменных в первом приближении:
(4)
Для
определения стационарных колебаний
чувствительного элемента на подвижном
основании приравняем к нулю правую
часть системы 4) и разрешим её относительно
функций
,
,
,
.
После всех преобразований получены два уравнения для амплитуд стационарных колебаний:
(5)
Числовой пример
Пусть заданы следующие расчетные данные: γ = 0,003; ν = 0,001; f0 = 2·10-9/2, а ω = 1 - σt, где σ = 10-3.
Из уравнений (10) получим начальные условия для амплитуд A и B, которые соответственно равны:
Ниже представлены графики зависимостей амплитуд А и B от частотной расстройки [5, 6]:
|
Рисунок 2 - Зависимость изменения амплитуды A от частотной расстройки |
|
Рисунок 3 - Зависимость изменения амплитуды B от частотной расстройки |
В итоге можно сделать следующие системы:
– на АЧХ наблюдается раздвоение частот, что обуславливается наличием угловой скорости основания ν;
– вязкое трение в системе способствует сглаживанию резонансных пиков;
– на графиках видно существенное искажение и смещение резонансных пиков, что происходит из-за наличия в системе нелинейных деформаций;
– медленное изменение частоты колебаний резонатора приводит к неравномерному изменению амплитуд колебаний, зависящему от добротности колебательного контура и угловой скорости основания.