Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов
Таблица интегралов
|
|
Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: =
=
.
Пример
2: Найти
неопределенный интеграл:
.
Решение:
=
.
Пример
3: Найти
неопределенный интеграл
Решение:
=
Метод подстановки в неопределенном интеграле (метод замены переменной)
Этот
метод заключается в том, что заменяют
переменную х
на
,где
-непрерывно
дифференцируемая функция, полагают
и получают
При
этом получают искомую функцию, выраженную
через переменную t.
Для возвращения к переменной х
необходимо заменить t
значением
,
которое находится из соотно-шения
.
Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.
Пример
1: Найти
неопределенный интеграл
Решение:
=
Пример
2: Найти
неопределенный интеграл
Решение:
=
Пример
3: Найти
неопределенный интеграл
Решение:
=
Пример
4: Найти
неопределенный интеграл
Решение:
=
=
=
.
Определенный интеграл и его свойства
Пусть
функция
определена на отрезке
.
Разобьем отрезок на n
частей точками
,
выберем на каждом элементарном отрезке
произвольную точку k
и обозначим
через
длину каждого такого отрезка.
Интегральной
суммой для функции
на
отрезке
называется сумма вида
Определение: Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Для
любой функции
,
непрерывной на отрезке
,
всегда существует определенный интеграл
Простейшие свойства определенного интеграла
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
Отрезок интегрирования можно разделить на части:
с-точка, лежащая между а и b.
6)
Если
на отрезке
,
то
.
Для
вычисления определенного интеграла от
функции
,
в том случае , когда можно найти
соответствующую первообразную
,
служит формула Ньютона-Лейбница:
=F(b)-F(a)
Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.
Пример
1: Вычислить
определенный интеграл
.
Решение:
=
Пример
2: Вычислить
определенный интеграл:
.
Решение:
.
Математический анализ. Дифференциальные уравнения
Определение: Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.
.
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
(Например, y΄sinx + ytgx = 1 - первого порядка;
-
второго порядка.
Определение: Функция y =φ(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения. Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением этого уравнения.
Для уравнения 1-го порядка: y = φ(x, C)
2-го порядка: y = φ(x, C1, C2)
Определение: Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольнх постоянных, называются частными решениями этого уравнения.
Определение: Задача на нахождение частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши.