Зразок виконання контрольної роботи

Задача 1. Знайти невизначені інтеграли.

а) ; в)

б) г)

Розв’язання

а) =

б) Розкладемо підінтегральну функцію на елементарні дроби

Якщо в цій тотожності покласти x=0, то –1=A(-1)(-2), звідки A=-1/2; якщо x=1, то

1=-B або B=-1; якщо x=2, то 3=2C або C=3/2.

Отже,

в)

г) Оскільки підінтегральна функція непарна відносно sin x, то скористаємось

підстановкою cos x=t. Звідси

Маємо:

Задача 2. Обчислити невласні інтеграли або встановити їхню розбіжність:

а) б)

Розв’язання

а) .

Отже, інтеграл а) збігається.

б)

Отже, інтеграл б) збіжний.

Задача 3. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

Розв’язання

Оскільки еліпс симетричний відносно обох координатних осей, то шукана площа дорівнює

почетвернній площі фігури, яка знаходиться в першій четверті. За формулою

маємо:

Задача 4. Обчислити площу поверхні частини параболоїда, утвореного

обертанням навколо осі Ох параболи , де 0 х 4.

Розв’язання

Маємо

За формулою Q= знаходимо

Q=

Задача 5 Встановити тип диференціального рівняння і знайти загальний розв’язок

Розв’язання

Права частина рівняння є однорідною функцією нульового степеня , тому дане рівняння однорідне . Заміна змінної y=zx приводить до рывняння

або

Очевидно , функції z=1 і z=-1 є розв’язками цього рівняння . Інші розв’язки знайдемо , відокремлюючи змінні . Маємо

Замінивши z на , дістанемо :

Задача 6 Знайти загальний або частинний розв’язок диференціального рівняння , яке допускає пониження порядку.

Розв’язання

Рівняння не містить шуканої функції та ії похідної . Поклавши , де u – шукана

функція , дістанемо

Відокремлюючи змінні при Маємо

,

Звідси

За допомогою послідовного інтегрування знаходимо:

,

де - доволі сталі ,

Розглянемо випадки u=0 і u=-1 . Якщо u=0, nj y=ax+b ; якщо u=-1 , то ,

Де a , b , c , d – довільні сталі . За допомогою підстановки впевнюємося в тому , що ці функції також є розв’язок даного рівняння.

Задача 7 Розв‘язати задачу Коші

, y(0)=3 ,

Розв’язання

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний роз’язок відповідного однорвдного рівняння має вигляд Права частина рівняння є сумою двох різних за структурою фунуцій та , тому за теоремою про накладання розв’язків частинний розв’язок данного рівняння дорівнює де та - частинні розв’язки рівнянь та відповідно.

Частинний розв’язок першого з цих рівнянь щукаємо у вигляді оскільки r=2 (число коренів характеристичного рівняння , які збігаються з , дорівнює 2). Підставивши , , в перше рівняння , після спрощень знайдемо 2A=3 , тому

Частинний розв’язок другого рівняння шукаємо у вигляді , звідки Отже ,

1. загальний розв’язок даного рівняння.

Знайдемо частинний розв’язок , який задовільнює задані початкові умови.

Продиференціюємо загальний розв’язок :

Підставивши в загальний розв’язок і його похідну початкові умови x=0 , y=3 , =1 ,

дістанемо систему рівнянь

звідки , Отже ,

2. шуканий розв’язок.

Задача 8

а) дослідити на збіжність числовий ряд ;

б) знайти область збіжності функціонального ряду.

а) б)