3. Декартова система координат на плоскости и в пространстве

В векторном пространстве (пока для нас это плоскость или обычное пространство) базис можно выбрать различными способами. Базис с соответствующими координатами называют системой координат. Какая система координат является самой лучшей? На самом деле, ответ на этот вопрос не является простым. В разных ситуациях применяются различные системы координат.

В школе мы познакомились с декартовой системой координат. Суть ее состоит в том, что в качестве базиса берутся взаимно перпендикулярные векторы единичной длины. Например, на плоскости это 2 взаимно перпендикулярных вектора , .

Произвольный вектор представляется в виде . Координаты геометрических векторов на плоскости являются проекциями конца вектора, приставленного к началу координат, на оси координат. А как правильно расположить векторы , ? Что такое ориентация системы координат? На приведенном рисунке движение в ближайшем направлении от вектора к вектору происходит против часовой стрелки. Такая пара векторов называется правой парой векторов на плоскости. Если векторы и поменять местами, получится левая пара векторов.

Рассмотрим теперь 3 взаимно перпендикулярных вектора , , единичной длины в пространстве. Здесь произвольный вектор представляется в виде .

Координаты этого вектора являются проекциями вектора на оси, порожденные базисными векторами , , .

Теперь посмотрим, как правильно расположить векторы , , . На приведенном рисунке движение в ближайшем направлении от вектора к вектору , наблюдаемое с конца вектора , происходит против часовой стрелки. Такая тройка векторов называется правой тройкой векторов в пространстве. Если какие-то 2 вектора поменять местами, то получится левая тройка векторов.

4. Преобразование координат при линейных операциях над векторами

Пусть в некотором линейном пространстве векторы , ,…, образуют базис и заданы 2 вектора и . С учетов 8 свойств линейных операций над векторами выполнены равенства , , . Итак, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются, при умножении векторов на число их соответствующие координаты умножаются на это число.

Как найти длину вектора и как охарактеризовать направление вектора? Пусть в реальном пространстве задан вектор , тогда его длина может быть найдена по формуле . Направление вектора удобно характеризовать направляющим вектором единичной длины с тем же направлением. Этот вектор обычно записывают в виде , где - углы между вектором и осями координат. Сами величины называются направляющими косинусами вектора .

Если рассматриваются векторы на плоскости, то все формулы формально остаются справедливыми – просто в них исчезает третья координата. Уточним обозначения.

Пусть на плоскости задан вектор , тогда его длина может быть найдена по формуле . Направление вектора удобно характеризовать направляющим вектором единичной длины с тем же направлением. Этот вектор обычно записывают в виде , где - угол между вектором и осью абсцисс.