1.1. Элементарные функции: их свойства и графики
Прежде чем описать основные элементарные функции, их свойства и графики. Поясним общее понятие функции.
Определение[1].
Переменная
называется функцией от переменной
в области ее изменения
,
если по некоторому правилу или закону
каждому значению
из
ставится
в соответствие одно определенное
значение
из
.
Облатсь опред
Далее приведено описание основные элементарные функции.
линейная функция и ее основные свойства
Аналитическая
формула:
,
где
и
некоторые числа.
График: прямая.
Областью определения: множество всех действительных чисел.
Областью значений:
при условии, что
- множество всех действительных чисел.
Если
,
то множество значений функции состоит
из одной точки
.
Четность-нечетность:
При
,
функция не является ни четной, ни
нечетной. Если
(
любое)
– функция четная. Если
(
любое)
функция нечетная.
По аналогии оформить
Степенная функция
Определение[1].
Квадратичная функция – функция вида
,
где
.
Свойства:
1. Область определения все действительные числа.
2. Множеством
значений функции является промежуток
3. Значение функции
является наименьшим, а наибольшего
значения функция не имеет.
4. Функция
является четной, график симметричен
оси ординат.
5. Функция непериодическая.
6. Парабола
имеет с осями координат единственную
общую точку
- начало координат.
7. Значение аргумента
является
нулем функции.
Определение[1].
Функция квадратного корня – это
функция вида
Свойства:
1. область определения
.
2. область значения
3. Функция не ограничена сверху
Определение[1].
Показательная функция – функция вида
,
где
называется основанием степени, а
показателем степени.
Свойства:
1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – множество всех положительных чисел.
3. показательная
функция
возрастает при
.
4. показательная
функция
убывает при
.
1.2. Монотонность функции
Определение[8].
Функция
,
,
называется возрастающей/убывающей на
множестве
,
если для любых
и
,
таких, что
справедливо равенство
;
называется невозрастающей/неубывающей,
если
,
при
.
1.3. Производная функции
Определение[1].
Производной
называется конечный
предел отношения приращения функции
к
вызвавшему его приращению независимой
переменной
,
при стремлении
к нулю, т.е.
,
функции
по независимой переменной
,
при данном ее значении (или в данной
точке)
.
Алгоритм отыскания производных для функции по определению.
1) Зафиксировать
значение
,
найти
.
2) Дать аргументу
приращение
,
перейти в новую точку
,
найти
3) Найти приращение
функции:
.
4) Составить
соотношение
.
5) Вычислить предел
.
Этот предел и есть
.
С помощью данного алгоритма выведены основные формулы и правила дифференцирования функций, которые можно найти, например, в [1].
Геометрич. смысл
1.4. Касательная к графику
Определение[1]. Касательной к кривой в исходной точке называется предельное положение секущей, когда другая точка вдоль по кривой стремиться к совпадению с исходной точкой.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции :
1) Обозначить
абсциссу точки касания буквой
.
2) Вычислить
.
3) Найти
и вычислить
.
4) Подставить
найденные числа
,
,
в формулу
.