Лекция 5 Энергия и волновые функции атома водорода
Рассмотрим систему,
состоящую из электрона
е, который
движется в кулоновском поле ядра с
зарядом Ze
. Такую систему называют водородоподобной.
При Z
=1 это атом водорода, при Z
=2 – однократно ионизованный атом гелия
- ион
и т.д.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром равна
,
(5.1)
где r - расстояние между электроном и ядром, которое будем полагать точечным и неподвижным.
Уравнение Шрёдингера будет иметь вид
.
(5.2)
Поле, в котором
движется электрон, является
центрально-симметричным, т.е. зависит
только от
.
Поэтому решение уравнения (5.2) целесообразно
проводить в сферической системе
координат. Оператор Лапласа в этой
системе запишется
.
(5.3)
Здесь
и
− радиальная и угловая части лапласиана
соответственно.
Тогда (5.2) перепишется
,
(5.4)
где
(5.5)
зависит только от r.
Угловые
и радиальные r
координаты независимы и решение можно
искать в виде
.
Тогда
и уравнение (5.4) после умножения на
и перегруппировки слагаемых примет
вид
.
(5.6)
Поскольку в левой
части этого уравнения стоит величина,
зависящая только от радиальной, а в
правой – только от угловых координат,
то это равенство может иметь место
только тогда, когда обе его части равны
одной и той же постоянной
.
Таким образом, из (5.6) получаем два
уравнения для радиальной и угловой
частей волновой функции:
,
(5.7)
(5.8)
Займемся анализом
уравнения (5.8), заметив, что оно не содержит
потенциальную энергию. Поэтому результаты,
получаемые из него, имеют универсальный
характер и описывают общие свойства
поведения частицы в любом центральном
поле сил. Угловые координаты
и
также являются независимыми и поэтому
функцию
можно представить в виде
.
(5.9)
Подставив это выражение в (5.8), получим
.
(5.10)
Домножив (5.10) на
и проведя перегруппировку слагаемых,
зависящих от соответствующих переменных,
получим
.
(5.11)
В соотношении
(5.11) частные производные заменены
полными, так как функции
и
зависят каждая только от одной переменной.
Поскольку в левой и правой частях (5.11)
стоят функции, зависящие от разных
переменных, данное равенство может
иметь место, если обе его части будут
равны одной и той же постоянной
.
Тогда из (5.11) получаем два уравнения
для одной переменной каждое:
(5.12)
(5.13)
Очевидно, что решением уравнения (5.13) является функция
,
(5.14)
где С
– произвольная постоянная. Поскольку
должна быть однозначной функцией угла
,
она не должна меняться при изменении
угла
на угол кратный
.
Следовательно
,
откуда
.
Величины
удовлетворяющие этому условию, образуют
ряд допустимых квантовых значений:
(5.15)
Число , удовлетворяющее условию (5.15), называют магнитным квантовым числом.
Обратимся теперь
к уравнению (5.12).Из курса математики
известно, что конечные во всей области
изменения переменной
решения (5.12) существуют лишь при
определенных значениях параметра
,
равных
.
Величина l,
получившая в квантовой механике название
азимутального квантового числа,
при этом может принимать лишь
неотрицательные целые значения:
l = 0, 1, 2,… (5.16)
Решением уравнения
(5.12) является специальная функция,
функция
,
называемая полиномом Лежандра −
.
Таким образом,
угловая часть волновой функции зависит
от двух целочисленных параметров
(квантовых
чисел)
и
.
Оределим теперь
радиальную часть волновой функции
.
Учитывая, что
,
уравнение (5.7) перепишем
.
(5.18)
(
5.18)
можно трактовать как уравнение,
описывающее одномерное движение в
потенциальном поле, с эффективной
потенциальной энергией
(рис.5.1). Отсюда видно, что при Е
< 0 мы имеем
«потенциальную яму» и следует ожидать,
что движение будет периодическим, а
значения энергии квантованными. При Е
> 0 движение
ограничено только с одной стороны
потенциальным барьером. В этом случае
спектр собственных значений энергии
будет сплошным.
Мы будем рассматривать
только случай
Е< 0. Рис.5.1
Введем обозначения
;
(5.19)
и перепишем уравнение (5.18)
(5.20)
и рассмотрим асимптотический случай, когда r очень велико. В этом случае уравнение (5.20) перепишется
.
(5.21)
Его решение
.
Можно показать, что в общем случае решение уравнения (5.20) имеет вид
,
(5.22)
где
- многочлен по степеням r.
Точное значение функции R(r),которая
зависит от двух целых положительных
чисел n,
l
(квантовые
числа) имеет вид:
,
где
. (5.23)
Тогда, принимая
во внимание (5.19) можно получить разрешенные
значения энергии атома
.
(5.24)
Приведем, например, значения энергии и радиальной части волновой функции для двух состояний:
п
= 1 – основное состояние
;
;
п
= 2 – первое возбужденное
;
.
Из (5.19) и (5.23) следует,
что для атома водорода ( Z
=1)
,
где
− первый боровский радиус.
Таким образом, квантовая механика приводит к таким же значениям энергии, что и теория Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются как следствие ее основных положений. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предположения.
П
олучив
выражение для волновой функции, мы можем
найти вероятность нахождения электрона
в определенной точке пространства. Для
атома водорода вероятность нахождения
электрона в радиальном слое толщины dr
на расстоянии
r
от ядра
приведена на рис.5.2. Расстояния даны в
боровских радиусах
см.
Цифры на кривых означают квантовое
число п,
буквы квантовые числа l
(s
соответствует
l
= 0; p
- l
= 1; d
– l
=2). Из рисунка
видно, что в основном состоянии 1s
максимальна вероятность обнаружить
элекРис.5.2 трон на расстоянии
первого боровского
радиуса.