2. Дискретизация непрерывных сообщений

Исключительно важным положением теории связи, на котором основана вся современная радиотехника, является теорема отсчетов, или теорема Котельникова. Эта теорема позволяет установить соотношение между непрерывными сигналами – сообщениями, и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – так называемыми отсчетами.

Теорема Котельникова формулируется следующим образом:

непрерывная функция Х(t) с ограниченным спектром, то есть не имеющая в своем спектре составляющих с частотами, лежащими за пределами полосы f  (–F_m , F_m), полностью определяется последовательностью своих отсчетов в дискретные моменты времени X( t_i ), следующих с шагом t ≤ 1/2F_m .

Доказательство теоремы основывается на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами. А именно – если сигналы одинаковы, то и соответствующие им спектры также одинаковы, и наоборот, если спектры двух сигналов одинаковы, то и соответствующие сигналы также одинаковы.

Чтобы доказать теорему Котельникова, покажем – как спектр дискретной функции { Х(t_i) } связан со спектром непрерывной функции Х(t).

Последовательность отсчетов непрерывной функции Х(t) можно представить в виде произведения Х(t) на периодическую последовательность -импульсов с периодом Δt :

(4)

Найдем спектр (преобразование Фурье) дискретизованной функции:

(5)

или , учтя "фильтрующее" свойство -функции:

(6)

Покажем, что спектр периодически дискрeтизованной функции Х(iΔt) становится периодическим с периодом 1/Δt.

Действительно,

(7)

При этом обратим внимание, что составляющая этого спектра для m = 0 в точности совпадает со спектром исходной непрерывной функции Х(t). То есть, если нам каким-либо образом удастся выделить из периодического спектра последовательности Х(t_i) лишь составляющую с m = 0, то тем самым по дискретной последовательности Х(t_i) восстановится непрерывная функция Х(t) (поскольку, если спектры одинаковы, то и соответствующие им сигналы также одинаковы !).

А как из периодически повторяющегося спектра выделить только одну составляющую? Устройством, позволяющим это сделать, является идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотной характеристикой вида

(8)

Импульсная переходная характеристика фильтра с АЧХ (8) имеет вид

h() = sinc (2F_m). (9)

Пропуская дискретную последовательность Х(t_i) через фильтр с импульсной характеристикой h(), получим исходный непрерывный сигнал

(10)

Процесс дискретизации непрерывной функции X(t) и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов X(t_i) иллюстрируется рис. 1:

Рис. 1

Таким образом, по дискретной последовательности отсчетов функции Х(it) можно абсолютно точно восстановить исходную непрерывную функцию Х(t), если отсчеты брались с интервалом t  1/2F_m.

Это говорит о том, что не существует принципиальных различий между непрерывными и дискретными сигналами. Из любого непрерывного сигнала с ограниченным спектром можно взять его отсчеты в дискретные моменты времени, а затем по этим отсчетам абсолютно точно восстановить исходный непрерывный сигнал.