1.4. Указания и рекомендации

1. При решении поставленной задачи ось Z направляется вдоль оси стержня, а оси X и Y располагаются в поперечном сечении стержня.

2. Для нахождения реакций в опорах стержня следует составить уравнения равновесия сил, действующих на стержень. При составлении суммы моментов сил относительно какой-либо из опор стержня за положительный рекомендуется принимать момент сил, не совпадающий по направлению с движением часовой стрелки. Момент сил относительно той же опоры противоположного направления следует считать отрицательным.

3. Эпюры внутренних силовых факторов (ВСФ) строят на оси стержня по следующим правилам.

Поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая всех внешних сил, расположенных слева от сечения, направлена вверх, и отрицательной, если равнодействующая тех же сил направлена вниз. Для сил, расположенных справа от сечения действует обратное правило.

Изгибающий момент в сечении считается положительным (значение откладывается над осью стержня), если результирующий момент всех внешних сил, расположенных слева от сечения, направлен по ходу движения часовой стрелки. В противном случае изгибающий момент считается отрицательным (ордината момента откладывается под осью стержня). Для внешних сил, расположенных справа от сечения, действует обратное правило.

4. Следует помнить, что алгебраически складывать можно только моменты инерции составляющих сложного сечения относительно одной оси.

Момент инерции сечения относительно оси X , параллельной центральной оси сечения , равен сумме момента инерции сечения относительно центральной оси и произведения площади сечения на квадрат расстояния между осями . .

Полярный момент инерции сечения равен сумме моментов инерции сечения относительно его центральных осей.

5. Положение центральных осей сложной формы сечения определяется по формулам:

где статические моменты сечения относительно осей и , параллельных центральным осям сечения;

площадь поперечного сечения стержня;

расстояния между осями и , и соответственно.

Исходные данные к заданию 1 Таблица 1.1

Параметры		В а р и а н т ы
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Усилия, кН		5	8	10	12	15	25	30	25	16	18
		3	5	10	5	20	15	20	30	22	25
		5	8	10	5	20	10	15	20	12	23
		5	8	10	5	10	5	20	25	14	12
Моменты,	М	20	30	50	70	120	130	150	170	180	200
	Т	50	80	75	80	100	150	180	200	240	250
Интенсивность нагрузки,			2		5		10		20		22
Размеры, мм	b	30	40	50	55	60	70	80	85	90	100
	h	50	60	65	75	80	100	140	150	180	200
	d	30	40	45	50	60	65	70	75	80	90
	r	100	200	250	300	200	150	100	200	180	220
		500	700	800	1000	1200	1500	1000	1200	800	850

Примечание. Отрицательное значение усилия означает противоположное направление этого усилия на схеме нагружения стержня.

Рис. 1.2. Схемы стержневых систем задания 1 (варианты 12 21)

1.5. Пример выполнения задания

Шифр задания ИЗ1.15.18.01.36.04

Рис. 1.5. Схема нагружения стержня Рис. 1.6. Форма сечения стержня

1. Исходные данные:

= 3 кН; = 5 кН; = 5 кН; М = 20 ; l = 1000 мм; b = 55 мм;

h = 75 мм; r = 300 мм.

2. Действующие на стержень нагрузки разносим по плоскостям вертикальной (V) и горизонтальной (Н), преобразуя их, определяем опорные реакции от нагрузок в каждой плоскости и строим эпюры внутренних силовых факторов (ВСФ).

При переносе силы на ось стержня появляется сосредоточенный изгибающий момент , равный произведению этой силы на расстояние от точки её приложения до оси стержня. 1500 м. При переносе силы на ось стержня появляется крутящий момент, равный произведению этой силы на расстояние от точки её приложения до оси стержня:

м.

Определяем опорные реакции стержня от внешних нагрузок на него в вертикальной плоскости (см. рис.1.7). Для этого записываем условие равновесия сил в виде уравнения моментов относительно опор А и В стержня:

.

Отсюда 2,9778 кН.

.

Отсюда 0,0222 кН.

Для проверки решения проектируем все силы на ось .

.

Реакции определены правильно.

Построение эпюр ВСФ. Продольная сила N = сжимает стержень на участке от точки её приложения до правой опоры В, т. к. левая опора подвижная.

Поперечная сила на участке от опоры А до точки приложения силы равна радиальной реакции опоры А, на правом участке – радиальной реакции опоры В.

Максимальный изгибающий момент в точке приложения силы - .

1488,9 Н м.

Рис. 1.7. Расчётная схема стержня в плоскости V

Аналогично изложенному определяем опорные реакции стержня от внешних сил, действующих в горизонтальной плоскости (см. рис.1.8).

Отсюда кН.

Отсюда 2,7778 кН.

Максимальный изгибающий момент в точке приложения силы рассчитываем следующим образом:

1111,1 Нм.

Рис. 1.8. Расчётная схема стержня в плоскости Н

3. Анализ нагруженности сечений стержня.

В вертикальной плоскости стержень нагружен продольной сжимающей силой, поперечной силой и изгибающим моментом, в горизонтальной плоскости поперечной силой, крутящим моментом и изгибающим моментом. Стержень подвергнут сжатию, поперечному изгибу и кручению. Наиболее нагруженным является сечение стержня, совпадающее с точкой приложения внешних сил. Проводим расчёт стержня на прочность в этом сечении.

4. Расчёт стержня на прочность.

Напряжения сжатия во всех точках сечения стержня одинаковы и определяются выражением ,

где Н – продольная сила; А – площадь сечения стержня, .

(см. рис. 1.9).

.

МПа.

Для расчёта стержня на изгиб и кручение необходимо определить моменты инерции его сечения относительно центральных осей и полярный момент инерции. Для этого нужно определить положение центральных осей сечения.

4.1. Определение положения центральных осей сечения (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Сечение стержня симметрично относительно горизонтальной оси , поэтому проводим ось , поделив размер пополам.

Положение оси сечения определяется координатой относительно оси (см. рис. 1.9) ,

где статический момент сечения относительно оси

Для определения разбиваем сечение на два одинаковых по размерам горизонтальных прямоугольника и один вертикальный прямоугольник, центры тяжести которых легко определяются (см. рис. 1.9).

Тогда

.

мм.

4.2. Определение моментов инерции сечения.

Момент инерции сечения относительно оси

Момент инерции сечения относительно оси

Полярный момент инерции сечения

4.3. Определение напряжений изгиба.

Стержень испытывает поперечный изгиб, при котором в поперечных сечениях стержня возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для нормальных напряжений изгиба некоторую погрешность, но эта погрешность по сравнению с единицей имеет порядок для изгиба в вертикальной плоскости и для изгиба в горизонтальной плоскости, где длина стержня. Поэтому для расчёта стержня на изгиб используем формулы чистого изгиба.

При изгибе стержня в вертикальной плоскости (относительно оси ) напряжения в крайних верхних и нижних волокнах сечения будут одинаковы в связи с равным удалением их от центральной оси

МПа.

При изгибе стержня в горизонтальной плоскости (относительно оси ) напряжения в крайних правых волокнах сечения составляют следующую величину:

76,3 МПа;

в крайних левых волокнах сечения :

45,3 МПа.

Рис. 1.10. Эпюры нормальных напряжений в сечении стержня

Суммарные нормальные напряжения:

в точке I МПа;

в точке II МПа;

в точке III МПа;

в точке IV МПа.

Максимальные нормальные напряжения в IV точке сечения.

Касательные напряжения от крутящего момента в точках сечения пропорциональны расстояниям этих точек от центра сечения стержня. Наибольшее удаление от центра тяжести сечения имеют точки II и IV

=50,96 мм,

напряжения кручения в этих точках МПа.

Эквивалентное напряжение в самой нагруженной точке сечения IV по 4-й теории прочности МПа.

5. На основании проведённых расчётов делаем вывод, что стержень может быть изготовлен из материала, для которого допускаемые нормальные напряжения выше 133 Мпа.