4 Плоская арочная ферма треугольного очертания

Рис. 24 - Плоская арочная ферма треугольного очертания

Рассмотрим плоскую статически определимую арочную ферму (рис. 24), размеры которой определены тремя параметрами: высотой b, длиной панели a и числом панелей в половине пролета n. В данной работе исследованы линии влияния горизонтального смещения опоры треугольной арочной фермы в зависимости от того, в какой узел j приложена нагрузка P и числа панелей n в ферме.

Для определения смещения подвижной опоры арочной статически определимой фермы (рис. 24) необходимо по методике [1] найти усилия в стержнях фермы и воспользоваться формулой Максвелла-Мора [2] где – модуль упругости материала, – площадь сечения стержней, – усилия в стержнях от действия внешней нагрузки, – усилия в стержнях от единичной вертикальной силы, приложенной к узлу в середине пролета, – длины стержней.

Результатом анализа последовательности решений десяти ферм с помощью системы Maple [6, 7] и пакета genfunc с операторами для анализа рекуррентных уравнений явилась следующая формула:

(34)

Графики прогиба арочной фермы

На рис. 25 представлен график зависимости прогиба от номера узла фермы при различных расстояниях между опорами ( ). Здесь .

Рис. 25 - График зависимости прогиба арочной фермы треугольного очертания от номера узла

На рис. 26 представлен график зависимости прогиба от расстояниях между опорами при различных значениях высоты фермы ( ). Здесь .

Рис. 26 - Зависимость прогиба центрального узла фермы от расстояния между опорами

На рис. 27 представлен график зависимости прогиба от высоты фермы при различных значениях расстояния между опорами ( ). Здесь .

Рис. 27 - Зависимость прогиба центрального узла фермы в зависимости от высоты фермы

5 Пространственная ферма балочного типа

Предлагается конструкция пространственной фермы балочного типа. Ферма состоит из трех плоских ферм с крестообразной решеткой. Моделируется опирание конструкции на четыре угловые точки. Использована система компьютерной математики Maple и метод индукции. Обнаружен немонотонный характер зависимости прогиба от числа панелей, ожидаемое увеличение жесткости при увеличении высоты фермы и неочевидное ее снижение при увеличении ширины основания. Найдены асимптотические свойства решения. Выявленные особенности решения позволяют оптимизировать размеры конструкции.

5.1 Схема конструкции

Покрытие состоит из трех плоских ферм с крестообразной решеткой, соединенных по длинным сторонам (рис. 28, 29). Боковые фермы одинаковые. Принято четное число панелей: . Ферма опирается на три опоры: сферический шарнир, цилиндрический и один вертикальный опорный стержень. Всего в ферме стержней, включая шесть опорных стержней и шарниров. Учитывая, что для каждого узла в методе вырезания узлов можно составить три уравнения равновесия в проекциях, система уравнений равновесия замкнута, конструкция статически определима.

Рис.28 - Ферма,

Рис. 29 - Ферма нижнего пояса и номера опорных узлов,

Для задания геометрии фермы введем систему координат с продольной осью , поперечной и вертикальной . Начало координат поместим в сферической опоре. Для нахождения направляющих косинусов усилий метода вырезания узлов потребуются их координаты:

Опора – сферический шарнир моделируется тремя стержнями, прикрепленными к узлу 1. Координаты концов этих стержней, закрепленных на неподвижном основании, имеют вид:

Цилиндрический шарнир моделируется двумя жесткими стержнями, закрепленными в узле с номером (рис. 29):

Опорный стержень закреплен на узле :

Порядок соединения стержней и узлов задается условными векторами , с произвольным выбором направления. Выбранные направления стержней-векторов не влияют на усилия и знаки усилий в стержнях. Векторы решеток ( ) имеют следующий вид:

Продольные стержни нижнего и верхнего пояса:

Компоненты векторов крайнего контура:

Опорные стержни кодируются векторами: