Значения тригонометрических функций некоторых углов

	300	450	600
		1

Задания с решением

1. В треугольнике ABC угол C равен 90º, ВС=4, . Найдите AB.

Р ешение:

tgA= ; тогда откуда АС= .

По теореме Пифагора АС² +ВС² =АВ².

АВ² = 33+16, АВ = 7

Ответ: 7

2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AB= , АС=8. Найдите tg A.

Решение:

По теореме Пифагора АС² +ВС² =АВ². 8² +ВС² =( )²

ВС²=80-64 ВС²=16 ВС=4

tgA= =

Ответ: 0,5

3. В треугольнике ABC угол C равен 90º , CH  – высота, AB=27, . Найдите BH.

Решение:

В треугольнике АВС . Тогда , откуда ВС=18

Угол А равен углу СНВ. Тогда в треугольнике СНВ то есть откуда НВ=12.

Ответ: 12

4. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

Решение:

Достроим угол АОВ до треугольника ОВА. Из рисунка видно, что ОВ=ВА, как гипотенузы равных треугольников, ВК делит основание ОА пополам, значит ВК – медиана, а значит и высота.

Из рисунка по теореме Пифагора находим , , тогда .

В ответ надо записать

Ответ: 2

Задания для самостоятельного решения

1. В треугольнике ABC угол C равен 90º , AB = 25, BC = 20. Найдите cosA.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AB = 25, BC = 20. Найдите sinA.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH  – высота, АВ = 27, Найдите AH.

4. В треугольнике ABC AC= BC=5, . Найдите высоту CH.

5. Найдите тангенс угла AOB.

6. Найдите тангенс угла С, если стороны квадратных клеток равны .

Занятие 4 Многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Основные понятия и свойства.

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины

ТЕОРЕМА Сумма углов выпуклого n -угольника равна 180° (n-2), где n – число сторон

Параллелограмм. Основные понятия и свойства.

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме противоположные углы равны.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме противоположные стороны равны.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме диагональ делит его на два равных треугольника.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

ТЕОРЕМА. Точка пересечения диагоналей параллелограмма есть его центр симметрии.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

ТЕОРЕМА. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник параллелограмм.

ТЕОРЕМА. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник параллелограмм.

ТЕОРЕМА. Если в четырехугольнике диагонали делятся в точке пересечения пополам, то такой четырехугольник параллелограмм.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Прямоугольник обладает всеми свойствами и ему присущи все признаки параллелограмма,

кроме того:

ТЕОРЕМА. В прямоугольнике диагонали равны.

ТЕОРЕМА. Если в параллелограмме диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Ромб и его свойства

По определению, ромб – это параллелограмм, все стороны которого равны.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РОМБА

ТЕОРЕМА. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

ТЕОРЕМА. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

ТЕОРЕМА. Диагонали ромба делят его углы пополам.

ТЕОРЕМА. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то параллелограмм является ромбом.

ТЕОРЕМА. Каждая диагональ ромба является его осью симметрии.

Кроме того, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Квадрат и его  свойства

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно дать и другое определение квадрата: квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Задания с решением

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть ВМ и СК – биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне ВС. Сумма углов АВС и BCD равна 180°. Углы ОВС и ОСВ – половинки углов АВС и ВСD. Значит, сумма углов АВС и ВСD равна 90°. Из треугольника ВОС находим, что угол ВОС – прямой.

Ответ: 90°.

2 . Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 12. Найдите его большую сторону.

Решение:

Углы СВЕ и ВЕА, а также СЕD и ВСЕ — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, СВЕ = ВЕА, а угол СЕD = ВСЕ. Получаем, что треугольники АВС и CDE — равнобедренные, то есть АЕ = АВ, а  DЕ = CD. Тогда AD = 12+12 = 24.

Ответ: 24

3. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 8. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Решение:

Пусть СВ=8. Тогда из того, что угол прямоугольника равен 90º и разделен в отношении 1:2 , следует, что ДАС = 60º, а САВ=30º. Катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы, следовательно АС = 2СВ = 2·8=16.

Ответ: 16.

4. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60°.

Решение:

Проведем меньшую диагональ ромба DВ и рассмотрим треугольник ADB.

Поскольку AD = АB=2 как стороны ромба, то треугольник равнобедренный. А поскольку  угол DAB равен 60°, то треугольник ADB – равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна.

Ответ: 2

5. Найдите высоту ромба, сторона которого равна  , а тупой угол равен 120°.

Решение:

Если тупой угол равен 120°, то острый угол равен 60°.

Пусть А=60°. Из треугольника АDH следует : . Получаем .

Тогда . Откуда DH =

Ответ: 3

6 . Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 120. Найдите диагонали ромба.

Решение:

По условию АС:ВD=3:4=6:8. Тогда АС= 6х и BD=8х.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит, треугольник АОВ – прямоугольный и АО= 3х и BО = 4х.

По теореме Пифагора АВ² = АО² + ОВ²

Так как периметр равен 120, а все стороны ромба равны, то АВ = 120 : 4 = 30

Получаем:

900=

Откуда , . Тогда АС= 6·6=36 и BD=8·6=48.

Ответ: 36 и 48.

7. Внутренние углы выпуклого четырехугольника относятся как 2 : 2, 5 : 9, 5 : 10. Найти меньший угол.

Решение:

Сумму внутренних углов четырехугольника вычисляем по формуле 180° (n – 2), где число сторон n = 4. Получаем 180° (4 – 2) = 360°. Из отношения углов 2:2, 5:9, 5:10 получаем, что углы равны 2х, 2,5х, 9,5х и 10х. Получаем уравнение: 2х+2,5х+9,5х +10х =360° , 24х = 360°, х = 15°.

Меньший угол равен 2х, то есть 2·15°=30°

Ответ: 30°

Задания для самостоятельного решения

1. Один из углов параллелограмма на 12°больше другого угла. Найти углы параллелограмма

2. Одна из сторон параллелограмма равна 21, а периметр равен 123. Найти стороны параллелограмма.

3. Одна из сторон параллелограмма на 7 больше другой, а его периметр равен 54. Найти стороны параллелограмма.

4. Диагональ ромба, лежащая против угла в 60°, равна 15. Найти периметр ромба.

5. Периметр ромба на 36 см больше его стороны. Найти сторону ромба.

6. Найти периметр ромба, если его диагонали равны 24 и 32.

7. В прямоугольнике меньшая сторона равна и вдвое меньше диагонали. Найти большую сторону прямоугольника.

8. Найти периметр квадрата, если его диагональ равна .

9. Стороны параллелограмма равны 10 и 15, а одна из диагоналей равна 23. Найти длину второй диагонали.

10. Периметр ромба равен 40, а одна из диагоналей равна 16. Найти длину второй диагонали.

11. Биссектрисы углов A и D параллелограмма пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите сторону АВ, если ВС = 44см.

12. В выпуклом четырехугольнике два угла прямые, а разность двух других равна 10°. Найти меньший угол.

13. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна 4320º.

14. В выпуклом четырехугольнике сумма двух углов равна 110º, а разность двух других равна 20°. Найти больший угол.

15. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.

16. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

17. 

18. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

19. 

20. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 28. Найдите большую сторону параллелограмма.

21. Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 24.

22. Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

23. 

24. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

25. 

26. Найдите высоту параллелограмма ABCD, опущенную на сторону AB, если стороны квадратных клеток равны 1.

27.