11. Описание свойств векторных полип

Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это означает, что сумма циркуляции по контурам Г, и Г₂, ограничивающим смежные поверхности S, и S₂ (рис. 11.10), равна циркуляции по контуру Г, ограничивающему поверхность S, являющуюся суммой поверхностей S, и S₂. Действительно, циркуляция С1 по контуру,

-h-

-АД—^

\г —

Рис. 11.9.

ограничивающему поверхность S1,может быть предоставлена

как сумма интегралов:

(11.17)

Первый интеграл берется по участку I внешнего контура, вто­рой — по общей границе поверхностей S1 и,S₂ в направлении 2—1.

Аналогично, циркуляция С₂ по контуру, ограничивающему по­верхность S2, равна

(11,18)

Первый интеграл берется по участку II внешнего контура, вто­рой — по общей границе поверхностей S1 и S2, в направлении 1—2. Циркуляция по контуру, ограничивающему суммарную поверх­ность S, может быть представлена в виде

Вторые слагаемые в выражениях (11.17) и (11.18) отличаются только знаком. Поэтому сумма этих выражений оказывается рав­ной выражению (11.19). Таким образом,

C=C1,+С2 (11.20)

46 ГЛ. I, ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ О ВАКУУМЕ

Доказанное соотношение не зависит от формы поверхностей и справедливо при любом числе слагаемых. Следовательно, если разбить, произвольную незамкнутую поверхность S на большое число элементарных поверхностей ΔS' (рис. 11.11) ¹.(На рисунке элементарные поверхности изображены дли простоты в виде. прямоугольников. В действительности их форма может быть совершенно произ­вольной), то циркуляция по контуру, ограничивающему S, может быть представлена как сумма элементарных циркуляции ΔС по контурам, ограничиваю­щим ΔS:

(11.21)

Р отор. Аддитивность циркуляции позволяет ввести понятие удельной циркуляции, т. е. рассматривать отношение циркуля­ ции С к величине поверхности S, «обтекае­ мой» циркуляцией. При конечных размерах Рис. 11.11 поверхности S отношение C/S дает среднее значение удельной циркуляции. Это значение характеризует свойства поля, усредненные по поверхности S. Чтобы получить характе­ристику поля в точке Р, нужно уменьшать размеры поверхности, стягивая ее в точку Р. При этом отношение C/S стремится к некоторому пределу, который характеризует свойства поля в точке Р. Итак, возьмем воображаемый контур Г, лежащий в плоскости, проходящей через точку Р1 и рассмотрим выражение

(11.22)

где Са — циркуляция вектора а по контуру Г, S — площадь, охва­тываемая контуром. Вычисленный для произвольно ориентирован­ной плоскости предел (11.22) не может служить исчерпывающей характеристикой поля в точке Р, поскольку величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р, но также и от ориен­тации контура в пространстве. Эта ориентация может быть задана направлением положительной нормали n к плоскости контура (по­ложительной считается нормаль, связанная с направлением об­хода контура при интегрировании правилом правого винта). Определяя предел (11.22) в одной и той же точке Р для разных направлений n, мы будем получать различные значения, причем для противоположных направлений эти значения отличаются толь­ко знаком (изменение направления n на противоположное эквива­лентно изменению направления обхода по контуру во время инте­грирования, что вызовет лишь изменение знака у циркуляции).

.