3.3.Основные формулы.

Закон Кулона (для двух неподвижных точечных зарядов):

F = Q₁Q₂/(4 _  r^),

где F – сила взаимодействия точечных зарядов Q₁ и Q₂;

r – расстояние между зарядами;

 - диэлектрическая проницаемость;

_о - электрическая постоянная,

Часто вводят коэффициент к = 1/4_о  910⁹ м/Ф.

Напряженность электрического поля и потенциал:

Е = F/Q,  = П/Q,

где П – потенциальная энергия точечного положительного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна 0).

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда:

F = QE, П = Q.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей):

, ,

где Е_i, _i – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i – м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом:

E = Q/(4₀ r²),  = Q/(4₀ r),

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяется напряженность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой с радиусом R на расстоянии r от центра сферы.

1. E = 0, (при r < R);

2. , (при r = R);

3. , (при r > R),

где Q – заряд сферы.

Линейная плотность заряда:  = dQ/d1. Поверхностная плотность заряда:  = dQ/dS. Объемная плотность заряда: ρ = dQ/dV

Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами.

Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью , то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dQ = dl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы:

, ,

где r – радиус – вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность и потенциал  поля создаваемого распределенным зарядом:

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.

Напряженность поля создаваемого бесконечно прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:

Е = /(2₀ r),

где r расстояние от нити или оси цилиндра от точки, в которой вычисляется напряженность поля .

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

E = σ / (2₀),

Связь потенциала с напряженностью:

1. = - grad , или (в общем случае);

2. ₁- (в случае однородного поля );

3. (в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией (радиальная компонента)).

Электрический момент диполя:

= |Q| , где Q – заряд,

– плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между точечными зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом ₁ в точку с потенциалом ₂:

А₁₂ = Q(₁ - ₂).

Электроемкость:

С = Q/ или С = Q/U,

где  - потенциал проводника (при условии, что на бесконечности потенциал принимается равным нулю);

U – разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R:

С = 4₀ R.

Электроемкость плоского конденсатора:

С = ₀S/d, где S – площадь пластины (одной) конденсатора;

d – расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

1. (при последовательном соединении);

2. (при параллельном соединении),

где N число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора:

W = QU/2; W = CU²/2; W = Q²/(2C).

Сила тока (скаляр):

I = Q/ t = dQ/dt, в общем виде I =

где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t, в общем виде – скорость изменения заряда

Плотность тока (вектор):

j = I/S = dI/dS,

где S – площадь поперечного сечения проводника. В общем случае – сила тока равна потоку вектора плотности тока через поверхность S/

Связь плотности тока со средней (дрейфовой) скоростью <v> направленного движения заряженных частиц под действием электрического поля:

j = en <v>,

где e – заряд частицы; n – концентрация заряженных частиц.

Закон Ома: сопротивление проводника не зависит ни от силы тока, ни от напряжения на его концах.

1. (для участка цепи, не содержащего ЭДС),

где ₁ - ₂ = U – разность потенциалов (напряжения) на концах участка цепи;

R – сопротивление участка;

2. (для участка цепи содержащего ЭДС), где Е – ЭДС источника тока;

R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

3. (для замкнутой (полной) цепи),

где R – внешнее сопротивление цепи;

r_i – внутреннее сопротивление цепи.

Мощность, выделяемая на нагрузке R, определяется из соотношения

Правила Кирхгофа для электрических цепей:

1. ∑I_i = 0 (первое правило);

2. ∑I_i R_i = ∑E_i (второе правило),

где ∑I_i - алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, ∑I_iR_i алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков; ∑Е_i – алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление R и проводимость G проводника:

R = L/S; G = S/L,

где  - удельное сопротивление; - удельная проводимость; L – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Зависимость сопротивления проводника от температуры:

,

где - температурный коэффициент сопротивления, - сопротивление при начальной температуре.

Сопротивление системы проводников:

1. при последовательном соединении R = ΣR_i ; общее сопротивление больше самого большого сопротивления цепи;

2. при параллельном соединении , где R_i – сопротивление i – го проводника; общее сопротивление меньше самого малого сопротивления цепи;

3. Работа тока за время t:

A = IUt; A = I² Rt; A = U² t /R.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка не содержащего э.д.с.

Мощность тока:

P = IU; P = I² R; P = U²/ R.

Закон Джоуля – Ленца:

Q = I² Rt. или в дифференциальной форме dQ = I²(t)R(t)dt

Закон Ома в дифференциальной форме: =  ,

где  - удельная проводимость; – напряженность электрического поля; – плотность тока.

Связь удельной проводимости с подвижностью b заряженных частиц (ионов):

 = Q n ( b₊ + b_- ),

где Q – заряд иона; n – концентрация ионов; b₊ и b_- - подвижность положительных и отрицательных ионов.

Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля:

B =  ₀ Н,

где  - магнитная проницаемость изотропной среды; ₀ – магнитная постоянная, ₀ = 410^-7 Гн/м.

В вакууме  = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме :

B₀ = ₀ H,

Закон Био – Савара – Лапласа:

или по величине

,

где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длинной dl с током I;

r – радиус – вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция (к точке наблюдения);

 - угол между направлением тока в элементе проводника.

и радиусом – вектором, проведенным от элемента тока в точку наблюдения

Магнитная индукция в центре кругового тока:

B = ₀I/2R,

где R – радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

,

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Если ток I течет по дуге окружности радиуса r, которая стягивает центральный угол Δφ , то в центре окружности напряженность поля составит

H_A = I Δφ/4π r.

Если точка наблюдения А смещена на расстояние х от центра окружности радиуса r , а кольцевой ток имеет силу I , то напряженность поля в точке А составит Н = I Е(к) /(π r (1 – к²)) , где к = х/ r, а Е(к) находим по таблице

к	0		0,1		0,2	0,3		0,4	0,5
Е(к)	1,571		1,567		1,554	1,534		1,504	1,467
к		0,6	0,7	0,8			0,9	1
Е(к)		1,416	1,351	1,277			1,165	1,0

Магнитная индукция поля создаваемого бесконечным прямым током:

B = ₀I/(2r₀),

где r₀ – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника с током.

,

 - угол, образованный лучами, проведенными из точки наблюдения по перпендикуляру к проводнику и к его концу.

Обозначения поясняются рисунком. Направление вектора магнитной индукции обозначено точкой – это значит, что вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа к наблюдателю, крестом – от наблюдателя. Ближняя к наблюдателю сторона витка (силовой линии) обозначается жирной сплошной линией со стрелкой, дальняя – пунктирной. Индукцию поля в точке расположенной на линии продолжения элемента тока полагаем равной нулю.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция ( см. рис. ) sin₂ = sin₁ = sin, тогда

.

Выведем эти формулы

Расчет сил, действующих на элемент тока. Закон Био – Савара – Лапласа.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Элемент тока и радиус-вектор , проведенный из точки O, где расположен элемент тока , в точку наблюдения А, где расположен элемент тока – определяют плоскость S. Вектор не лежит в плоскости S. Вектор - нормаль к плоскости S. – проекция элемента тока на нормаль к плоскости S. – проекция вектора на плоскость S. Векторы и задают плоскость S₂ , перпендикулярную к S. Элемент тока в точке наблюдения А создает магнитное поле и на элемент тока действует сила , направление которой определяется правилом левой руки. Эта сила перпендикулярна к плоскости S₂ .

Угол между элементом тока и радиусом вектором точки наблюдения обозначим θ₁ , а θ₂ – угол от нормали к . Величина силы взаимодействия двух элементов тока, зависит от величин элементов тока и прямо пропорционально им. Она обратно пропорциональна квадрату расстояния между элементами тока. μ₀ – магнитная постоянная: вводится для того, чтобы согласовать электрические единицы – токи - и механические единицы - силы и расстояния.

Закон Био – Савара – Лапласа может быть записан в векторном виде:

формула (2). В этой формуле фигурирует векторное произведение. i₁ и i₂ – скаляры, поэтому могут быть вынесены за знаки векторного произведения.

Для характеристики магнитного поля в точке наблюдения А, целесообразно ввести новую физическую величину – напряженность магнитного поля по формуле (3) (направление этого нового вектора в точке наблюдения определяем по правилу правого буравчика в полном соответствии с определением векторного произведения векторов и ): вектор перпендикулярен плоскости содержащей вектор и вектор , то есть этот вектор лежит в плоскости S₂ . Векторы , и образуют правую тройку векторов (по определению векторного произведения). По величине будет равен:

(3)

C введением вектора напряженности магнитного поля, величина силы, действующей на элемент тока помещенный в магнитное поле, созданное элементом тока , принимает вид (4). Сила перпендикулярна плоскости содержащей элемент тока и вектор , а это и есть плоскость S₂ . В скалярном виде формула (3) представлена в виде формулы (5), где – это – элемент тока, создающий магнитное поле, а θ – это угол между векторами и Вектор заменим на и он задает расстояние от элемента тока до точки наблюдения, в которой ищем величину напряженности H магнитного поля.

На основе этой формулы рассчитаем магнитное поле создаваемое конечным отрезком прямого проводника. Помним, что - вектор, сила тока i – скаляр, плотность тока - вектор.

На отрезке прямой с током А'D мы выделили элемент . Важнейшим элементом является длина перпендикуляра R, опущенного из А на отрезок с током, где угол θ, это угол между и . Проведем вектор + с конца выделенного вектора элемента тока. Из точки B проводим перпендикуляр на + . Угол между R и обозначим через α. Тогда d α угол между и + . Перпендикуляр BC может считаться элементом дуги радиуса r, потому что d α бесконечно малый угол.

Угол DBC = α. BDC= π – θ. Тогда dl sin θ = dl cos α = BC = dS.

Свяжем R и r :

; = = .

1. Для того, чтобы найти поле в точке А создаваемое, конечным отрезком проводника с током, проинтегрируем это выражение по α. Определим пределы в которых изменяется угол α. Сумма .α₁ + α₂ – угол под которым виден проводник с током из точки наблюдения. Поэтому

= =

(6)

Известно, что если проводник бесконечен, то на расстоянии R от себя он создает напряженность магнитного поля

- теорема о циркуляции вектора H. (7)

Формула (6) верна тогда, когда проекция точки наблюдения А попадает в точку , лежащую на проводнике .

2. Если не лежит на проводнике, то α₁ и α₂ (пределы интегрирования) оба положительны (см. рис.). В таком случае формула имеет вид:

(8)

3. Если точка наблюдения А лежит на продолжении проводника с током, то в этом случае, как было показано, H_A тождественно равна нулю. Следовательно. сила действующая на элемент тока, помещенный в точку А, также равна нулю. Покажем, что это утверждение не противоречит полученным ранее соотношениям.

И так, покажем, что если точка наблюдения С лежит на прямой содержащий прямолинейный проводник длины L с током J, то индукция магнитного поля, созданного этим током в точке С, равна нулю.

X Индукция магнитного поля в точке

С ₂ С₁ С₁, отстоящей от заданной

прямой на расстоянии СС₁ равном

В Х, определяется соотношением:

J,l ₁

А

_{B = (cos α1 – cos α2)}

_{Отсчет углов здесь отличается от предыдущего.}

Воспользуемся тем, что согласно рисунку

tg  = x/a , tg  = x/(l + a ), а cos  = (1 + tg²)^1/2

и преобразуем (1) к виду

B = (₀J/4πх) (a/(a² + x²)^1/2 – (l + a)/((l + a)² + x²)^1/2 (2)

Если X→ 0, то точка С₁ переходит в точку С, лежащую на прямой, содержащей проводник с током. Однако при этом в (2) мы имеем неопределённость типа ∞ - ∞ , которая раскрывается с помощью преобразования

 –  = (1/ – 1/) .

Из (2) получаем:

. Что и требовалось доказать.

Этот результат вытекает непосредственно из формулы (3), данной в векторном виде. Поскольку в рассматриваемой ситуации и параллельны (или антипараллельны), то их векторное произведение равно нулю.

Магнитная индукция поля соленоида:

B = ₀In,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле (закон Ампера):

, или по величине F = IBlsin,

где – длина проводника – элемента тока;

 – угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции .

Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника. Если поле не однородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применить к каждому элементу проводника в отдельности:

Сила взаимодействия двух длинных параллельных проводников с током:

F = ₀I₁I₂l/(2d),

где d – расстояние между проводами.

Магнитный момент плоского контура с током:

где – единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура (задать нормаль к контуру без указания направления обхода этого контура, невозможно; она определяется по правилу буравчика); I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

, или по величине M = P_mB sin,

где  – угол между векторами и .

Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле:

П_мех = ( P_m , В), или П_мех = P_mBcos.

Отношение магнитного момента P_m к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите:

P_m/L = 0,5 (Q/m),

где Q – заряд частицы; m – масса частицы.

Сила Лоренца:

, или по величине F = QvBsin

где – скорость заряженной частицы: - угол между векторами и .

Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то на нее действует сила:

.

Магнитный поток: