Прямая в пространстве Различные виды уравнения прямой в пространстве
К анонические уравнения прямой, проходящей
ч
ерез
данную точку (x0;
у0;
z0)
параллельно вектору
=
{m, n,
p}:
Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Здесь направляющий вектор – = {m, n, p}.
Обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль числителя:
.
Параметрические уравнения прямой, проходящей через данную
точку (x0;
у0;
z0)
параллельно вектору
=
{m, n,
p}:
,
где t – переменный
параметр, t
R.
Уравнения прямой, проходящей через две точки М1(x1; у1; z1) и
М2(x2;
у2;
z2):
.
4. Общее
уравнение прямой
задается как линия пересечения
плоскостей А1х + В1у
+ С1z +
D1 = 0 и А2х
+ В2у + С2z
+ D2 = 0.
Направляющий вектор этой прямой может
быть найден как векторное произведение
нормальных векторов
= {A1; B1;
С1} и
=
{A2; B2;
С2} этих плоскостей:
=
[
,
]
или
=
,
т.е.
=
.
Замечание.
Каноническое
уравнение прямой можно
получить, зная две точки этой прямой.
В качестве этих точек можно взять два
любых решения системы уравнений
(общего
уравнения прямой).
Например,
и
.
Тогда
уравнение прямой,
проходящей
через две точки,
запишется
в виде:
,
т.е.
,
или
.
Направление
прямой задает вектор
=
{4, 7, 6}. Он
образует с координатными осями
углы α,
β
и
γ
соответственно:
Задания для самостоятельного решения
1. Найти направляющий
вектор прямой
(0; 1; 0).
2. Привести к
каноническому виду прямую
.
3. Найти направляющие
косинусы прямой
=
=
.
.
Задания
для самостоятельного решения
Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями
и
Под углом между прямыми понимается угол между направляющими векторами
=
{m1,
n1,
p1}
и
=
{m2,
n2,
p2}:
cos φ
=
.
Острый угол между прямыми:
cos φ
=
.
Условие параллельности прямых
L1
и L2:
.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2: m1 m2 + n1n2 + p1p2 = 0.
Прямые совпадают, когда: и точка (x1; у1; z1) L2 и, наоборот, точка (x2; у2; z2) L1.
Условие, при котором прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости:
= 0.
При этом, если ╫ , то прямые L1 и L2 пересекаются.
Задания для самостоятельного решения
точка М (2, 0, -1) не принадлежит второй прямой; прямые не совпадают, значит, они параллельны.
Задания для самостоятельного решения
Задания для самостоятельного решения
