2. Общие теоремы динамики

В этом разделе мы рассмотрим следствия системы дифференциальных уравнений, описывающей движения материальной точки и механической системы. Эти следствия называются общими теоремами динамики.

1. Теорема о движении центра масс

Сложим почленно левые и правые части уравнений движения механической системы (3.27):

.

(3.28)

Преобразуем выражение для центра масс (3.6) путем переноса массы в левую часть равенства и последующего двукратного дифференцирования по времени:

(3.29)

.

(3.30)

Подставим (3.30) в левую часть равенства (3.28) и, учтя свойства внутренних сил механической системы (3.25), получим:

.

(3.31)

Уравнение (3.31) выражает теорему о движении центра масс механической системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной суме всех действующих на систему внешних сил.

Сравнивая (3.31) с основным законом динамики точки (3.2), можно теорему сформулировать так: центр масс механической системы двигается, как двигалась бы материальная точка с массой всей системы, к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Заметим, что в выражении (3.31) отсутствуют внутренние силы, что означает, что внутренние силы не влияют на движение центра масс.

Кстати, если твердое тело движется поступательно, то фактически уравнение (3.31) полностью описывает его движение. Таким образом, можно, считать, что под материальной точкой (математическая абстракция), подразумевают поступательно(!) движущееся под действием внешних сил твердое тело.

Следствие 1

Пусть правая часть уравнения (3.31) равна нулю , иными словами, система – изолирована. Тогда из формулировки теоремы вытекает, что

. Центр масс изолированной механической системы движется равномерно и прямолинейно, либо покоится.

Следствие 2

Напишем теорему о движении центра масс в дифференциальной форме (по типу выражений (3.19)) и пусть сумма проекций внешних сил на какую либо ось (например, ось x) равна нулю (система частично изолирована). Тогда проекция ускорения центра масс на эту ось равна нулю =0, а проекция скорости – постоянна . Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то центр масс вдоль этой оси перемещается равномерно, либо не перемещается.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы.

2. При каких условиях центр масс механической системы движется равномерно и прямолинейно, либо покоится?

3 Можно ли считать утверждения «система изолирована» и « » эквивалентными, если механическая система - абсолютно твердого тела?

А если нет?

2. Теорема об изменении количества движения

Введем понятии количество движения материальной точки.

Количество движения материальной точки – это векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости .

Этот вектор, естественно, направлен в сторону вектора скорости точки .

Одновременно определим количество движения механической системы (или механический импульс):

Количество движения механической системы есть векторная сумма количеств движений (импульсов) всех точек системы:

.

(3.32)

Если продифференцировать обе стороны равенства (3.29) по времени, получим: , или . Отсюда находим, что количество движение равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс:

.

(3.33)

Теорема об изменении количества движения

Продифференцировав левую и правую части равенства (3.33) по времени и учтя (3.31), получим теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

.

(3.34)

Производная по времени от количества движения механической системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил.

В проекциях на координатные оси равенство (3.34) будет:

.

(3.35)

Введем определение элементарного импульса силы, как произведение силы на элементарное время ( ). Как видно из определения, элементарный импульс силы направлен вдоль вектора силы.

Тогда, умножив обе части равенств (3.34) и (3.35) на dt, получим эту же теорему несколько в иной формулировке:

(3.36)

Проинтегрировав (3.36), получим теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме:

(3.37)

где , - количества движений системы в начальный ( ) и, соответственно, конечный ( ) моменты времени, - импульс k-й внешней силы, определяемый по формуле:

.

(3.38)

То же относится и проекциям количества движения и импульсов сил на оси (3.36).

Общая формулировка для теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы как в дифференциальной (3.36), так и в интегральной (3.37) формах такова:

Изменение количества движения равно импульсу всех (внешних)⁵ сил.

Применительно к движению одной точки М теорему можно проиллюстрировать рисунком 3.3.

Рис.3.3

Следствие 1

Пусть правая часть уравнения (3.34) равна нулю , (система – изолирована). Тогда . Вектор количества движения изолированной механической системы со временем не меняется.

Следствие 2

Пусть сумма проекций внешних сил на какую либо ось (например, ось x) равна нулю (система частично изолирована). Используя первое равенство в (3.35), получим .

Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось постоянна.

Приведенные в следствиях 1 и 2 формулировки отражают закон сохранения количества движения.

Заметим, что внутренние силы количество движение системы изменить не могут.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Чем отличается механический импульс от импульса силы?

2. Сформулируйте теорему об изменении количества движения и следствия из нее.

3. Как влияют внутренние силы на движение центра ее масс?