4. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки.

Закон сферического движения

П

усть абсолютно твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Точки тела могут перемещаться при его движении, сохраняя неизменными расстояния до центра О, т.е. двигаться по сферическим поверхностям. Именно поэтому движение тела с одной закрепленной точкой носит название сферическим движением. Такое движение выполняет, например, волчок, опирающейся на неподвижную точку опорной поверхности, либо гироскоп с одной закрепленной точкой.

Рис.2.25

Скрепленная, связанная с этим телом координатная система Oxyz поворачиваясь вместе с ним, образует три ориентационных угла φ, ψ, θ, характеризующих положение тела относительно неподвижной системы координат Ox₁y₁z₁. Эти углы, введенные Эйлером, носят названия угол собственного вращения φ, угол прецессии ψ и угол нутации θ. Названия углов соответствуют принятым в небесной механике. Рассмотрим их определение подробнее (рис. 2.25).

• Назовем прямую ОК пересечения плоскостей Ox₁y₁ и Oxy линией узлов. Как следует из ее определения, она перпендикулярна осям Oz₁ и Oz .

• Угол собственного вращения φ связан с поворотом тела вокруг собственной оси вращения Oz (для волчка – поворот вокруг своей оси).

• Угол нутации θ определяет отклонение оси собственного вращения Oz от направления неподвижной оси Oz₁ (отклонение оси волчка от вертикали).

• Угол прецессии ψ - это угол между линией узлов и неподвижной осью Ox₁, или, что одно и то же, угол поворота плоскости осей Oz₁z вокруг оси Oz₁ (угол поворота оси волчка вокруг вертикальной оси).

Заметим, что показанные на рис.2.25 направления углов соответствуют положительным направлениям, принятым в системах координат с правыми тройками направляющих ортов осей.

Закон сферического движения абсолютно твердого тела, описывающего его положение в любой момент времени, можно сформулировать в виде:

φ= φ (t), ψ= ψ (t), θ= θ (t).

(2.61)

Угловая скорость при сферическом движении

Продифференцировав выражения (2.61) по времени, можно найти угловые скорости вращений по соответствующим осям вектора которых направлены вдоль соответствующих осей Oz, Oz₁,ОК (рис. 2.25). Их геометрическая сумма представляет собой т.н. «мгновенную угловую скорость тела», меняющуюся с течением времени по величине и направлению:

(2.62)

Таким образом, движение тела можно представить, как последовательность элементарных поворотов на угол , совершаемых вокруг перемещающейся в пространстве мгновенной оси вращения . Следует заметить, что мгновенная ось вращения при любых положениях тела всегда проходит через неподвижную точку О.

Спроецируем равенство (2.62) на связанные с телом оси x, y, z и учтя, что

(следует из рис. 2.25), получим:

(2.63)

Действуя аналогично при проецировании вектора на неподвижные оси x₁, y₁, z₁, получим:

(2.64)

Выражения (2.63) и (2.64) получили названия кинематические уравнения Эйлера. Они определяют проекции вектора мгновенной угловой скорости на подвижные и неподвижные оси.

Угловое ускорение при сферическом движении

В соответствии с определением, угловое ускорение тела есть производная по времени от вектора угловой скорости:

.

(2.65)

Проекции углового ускорения на неподвижные оси считаются, как производные по времени от соответствующих компонент угловой скорости:

.

(2.66)

Таким образом, вектора и - основные характеристики движения тела с одной неподвижной точкой.

Скорости точек тела при сферическом движении

Для определения скоростей точек тела при сферическом движении воспользуемся формулой (2.51) для вращения с мгновенной угловой скоростью . Учтя, что r_X =x, r_Y =y, r_Z =z, то по известной формуле векторной алгебры для векторного умножения получим:

.

(2.67)

Таким образом, раскрывая определитель, можно получить выражения для компонентов вектора скорости в связанных с телом координатах точки при его сферическом движении:

(2.67)

В используемых здесь координатах, скрепленных с телом, x, y, и z для конкретной точки есть величины постоянные (в отличие от меняющихся координат x₁, y₁, и z₁ точки в неподвижной системе).

Ускорения точек тела при сферическом движении

Для определения ускорений точек тела при сферическом движении воспользуемся формулой (2.52):

.

(2.68)

Компоненты вектора полного ускорения, первое ускорение называют вращательным, а второе - осестремительным. Заметим, что, при сферическом движении, в отличии от вращения вокруг неподвижной оси, вращательное ускорение вообще говоря не является касательным, а осестремительное – нормальным ускорениями.

На этом краткий анализ сферического движения закончим.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое сферическое движение абсолютно твердого тела? Каким законом движения оно характеризуется?

2. Как определяются угловые скорости и ускорения тела с неподвижной точкой при его движении?

3. Какими формулами определяются вектора скорости и ускорения точек твердого тела при его сферическом движении?