4.4 Построение линии среза бревна

Если узел содержит элемент круглого сечения (бревно, пластина) с некоторой врубкой, то при выполнении чертежа узла или деталировочного чертежа элемента приходится строить лекальные кривые линии (эллипсы), получающиеся в результате сечения цилиндра наклонной плоскостью. Эти кривые можно определить, используя третью проекцию (рисунок 41) или с помощью вспомогательных построений на соответствующем виде (рисунок 42).

Поскольку врубка с одним зубом образуется сечением кругляка (бревна) двумя плоскостями α и β, используем вспомогательные горизонтальные секущие плоскости (на рисунке 41 они не обозначены, т.к. можно использовать соответствующие образующие цилиндра), которые определяют на третьем виде размеры соответствующих хорд. Перенося эти хорды на вид сверху, получаем промежуточные точки линий среза.

Рисунок 41

На рисунке 42 показано сечение прямого кругового цилиндра плоскостью γ, которая вращается вокруг диаметра MN цилиндра, занимая последовательно положения γ₁, γ₂, γ₃ и γ₄.

Рисунок 42

В положении γ₁ плоскость рассекает цилиндр по окружности (AB = MN).

В положениях γ₂, γ₃ и γ₄ плоскость рассекает цилиндр по эллипсам с малой осью MN и большой осью CD, EF и GK соответственно, где AB < CD < EF < GK. Следовательно, любой эллипс можно получить посредством растяжения диаметра окружности (AB) по искомому направлению (в данном случае вдоль оси цилиндра).

По этому принципу построена врубка на рисунке 43.

Для построения линии среза (скола) бревна плоскостью α продолжаем след плоскости до пересечения с осью цилиндра в точке О₁ (О₁”). Определяем проекцию этой точки О₁’. Из центра О₁’ проводим окружность радиусом О₁’А’ (большая ось эллипса) и окружность, определяющую малую ось эллипса (диаметр бревна).

Рисунок 43

Проведя через О₁’ произвольный луч, определяем соответствующие точки k₁ и k₂. Из точки k₁ проводим линию, параллельную большой оси эллипса, а из точки k₂ – линию, параллельную малой оси эллипса. Пересечение этих линий определяет точку k_э, которая принадлежит искомому эллипсу. Построив множество точек типа k_э, соединяем их плавной кривой (лекальная кривая), определяющей линию среза (скола) бревна плоскостью α.

Для построения линии среза (скола) бревна плоскостью β определяем сначала точку О₂ (О₂”, О₂’). Из О₂’ проводим окружность радиусом О₂’В’ и окружность, соответствующую диаметру бревна. Точки типа r_э определяют аналогично точкам k_э.

4.5 Наглядные изображения деревянных конструкций

При построении наглядных изображений узла фермы выбираем один из стандартных видов аксонометрических проекций (прямоугольная изометрия или диметрия). Особенность изображения узла фермы заключается в том, что при построении приходится иметь дело с линиями, не принадлежащими координатным плоскостям и не параллельными аксонометрическим осям.

Выбор вида аксонометрической проекции определяется наглядностью изображения. Поэтому в первую очередь следует исключить те виды, которые приводят к вырождению проекций.

Рассмотрим особенности применения стандартных аксонометрических проекций.

1 Прямоугольные аксонометрические проекции

На рисунке 44, а в прямоугольной изометрии представлены прямые l, l₁ и m, m₁, расположенные в координационных плоскостях XOZ и YOZ и составляющие с осями координат углы в 45⁰.

Рисунок 44

На рисунке 44, в и г представлены схемы ферм, у которых в узлах А и Б оси раскосов занимают аналогичное положение.

Если раскосы выполнены из брусьев (досок), то применять этот вид аксонометрии не целесообразно, так как изображение брусьев с осями l и m₁ вырождается в плоскость (рисунок 45, а и б).

Прямоугольную изометрию можно использовать для изображения узла В трапецеидальной фермы и узла Г треугольной фермы (рисунок 44, в и г).

Рисунок 45

Если раскосы бревенчатой конструкции (рисунок 45, в), то применение прямоугольной изометрии допустимо за исключением случаев, когда бревна срезаны плоскостями, совпадающими с направлением l (l₁) и m (m₁). Эти рекомендации остаются в силе при угле наклона раскоса к осям близком к 45⁰.

На рисунке 44, б прямые l (l₁) и m (m₁) изображены в прямоугольной диметрии. Очевидно, что направление прямых m (m₁) не совпадает с аксонометрическими осями.

Поэтому прямоугольная диметрия является более наглядным видом аксонометрической проекции при изображении узлов А и Б, но изображать подобные элементы надо в плоскости ZOY.

Сказанное также относится к узлам Г и В (рисунок 44, в и г). Так как l₁ не совпадает с осями OX и OY, изображение узла В можно выполнять в плоскости XOZ.

При изображении различных врубок следует пользоваться изложенными рекомендациями и при этом помнить, что всякая линия среза (скола) определяется как сечение поверхности плоскостью. Поэтому следует повторить соответствующий раздел начертательной геометрии.

Рассмотрим последовательность построения наглядного изображения врубки с одним зубом (рисунок 46), выполняемую по рисунку 32, а.

На рисунке 46, а представлен чертеж врубки в более крупном масштабе. Из чертежа видно, что угол наклона при вершине А треугольника АВС значительно больше угла в 45⁰. Поэтому при его изображении можно применять любой вид аксонометрической проекции.

Выбранный вид аксонометрической проекции – прямоугольная изометрия (угол между осями X и Y равен 120⁰).

1 Строим нижний пояс фермы, определяемый линиями, параллельными аксонометрическим осям ОХ, ОУ, ОZ . Построение начинаем с торца элемента, лежащего в координатной плоскости YOZ. Размеры высоты и ширины определяют сечение элемента (рисунок 46, б). Длина пояса определяется направлением оси ОХ.

2 От торца бруса по направлению оси ОХ откладываем точки А и Е, определяющие линии начала скосов врубки. Определяем положение и глубину пропила точки D. Аналогично фиксируем точки F, G и H, определяющие вырез в нижнем поясе под шайбу и головку болта (рисунок 46, в).

3 Линия EDA определяет ближайшие к наблюдателю линии среза. Через точки A, D и E проводим линии, параллельные OY и достраиваем врубку (рисунок 46, г). В данном случае обе плоскости среза врубки будут видимы. Нижний вырез определяется линией FGH, так как плоскости среза не будут видимыми.

4 Определяем положение наклона болта (KL). Находим точку N, фиксирующую положение отверстия под болт (рисунок 46, д). KL∩AD=М. МN║OY. МN по величине равна половине ширины бруса. Строим треугольник АВС, где АС определяет ребро врезаемого элемента.

Рисунок 46

5 Строим врезаемый элемент (рисунок 46, е). Положение его ребер определяется линией АС. Переднее правое ребро проходит через точку Р нижнего пояса параллельно АС. Пересечение ребра с прямой DЕ определяет точку, через которую проходит нижний срез боковой грани элемента.

При окончательном оформлении чертежа выделяем болтовое соединение и показываем линии обрыва врезанного элемента. Обрыв элемента можно ограничить линиями, параллельными плоскости ХОУ, или плоскостью, перпендикулярной оси элемента.

На рисунке 46, ж показано изображение узла в процессе сборки. Такое изображение узла допускается при выполнении задания: особенно в тех случаях, когда при построении аксонометрической проекции происходит наложение разных элементов друг на друга.

При построении наглядных изображений из кругляка (бревен и их частей) приходится строить окружности в аксонометрических проекциях различного положения. Построение окружности в координатных плоскостях сводит­ся к построению эллипса. Построе­ние этой фигуры описано в любой справочной литературе по черчению. Поскольку, на основе теории начертательной геометрии, эллипс является фигурой родственной окружности, построение окружности в аксонометрии можно выполнять по восьми ее точкам. Рассмотрим рисунок 47, где показана окружность, вписанная в квадрат.

Рисунок 47

Точки А, В, С и D являются точками касания сторон квадрата к окружности. Точки Е, F, G и Н - диагональные точки окружности, т.е. точки, лежащие на диагоналях квадрата.

Следует отметить, что точка Е пересечения окружности с диагональю квадрата делит половину диагонали квадрата ОМ на части в отношении

ОЕ/ОМ = R/R = 0,707.

Если провести через Е прямую LК║ОВ, то OL=ВК, а из треугольника ELO имеем: OL=R/ .

Из треугольника ОМВ имеем: ОЕ/ОМ = ВК/ВМ = R/R = 0,707. Из равнобедренного прямоугольного треугольника BMN получаем: ВN/ВМ=R/R = 0,707. Из этого следует, ВN=ВК.

Из вышесказанного вытекает способ определения диагональных точек. Из точек М и В проводим два направления под уг­лом 45° к линии MB до взаимной встречи в точке N и затем радиусом ВN описываем полуокружность, которая засекает сторону квадрата в точках К и К₁. Проводя из этих точек прямые, параллельные другим боковым сторонам квадрата, получаем на диагоналях квадрата искомые четыре точки.

Построение эллипса по восьми точкам сводится к определению четырех точек касания сторон параллелограмма, родственного квадрату, и четырех диагональных точек.

2 Косоугольные аксонометрические проекции

В аксонометрических проекциях окружность изображается без искажения во фронтальной изометрии, в горизонтальной изометрии и во фронтальной диметрии.

На рисунке 48, а представлен прямой круговой цилиндр, изображенный в косоугольной изометрии. Основание цилиндра лежит в плоскости XOZ и представляет собой окружность AEBFCGDH. Если плоскость основания цилиндра вращать вокруг диаметра AС, то она будет пересекать цилиндр по эллипсам со вторым сопряженным диаметром D₁B₁, D₂B₂ и т.д.

Рисунок 48

На рисунке 48, б показано построение эллипса с сопряженными диаметрами AС и D₁B₁.

Проведя через точки A, С, B₁ и D₁ линии, параллельные сопряженным диаметрам, получаем параллелограмм M₁P₁Q₁R₁. Чтобы построить эллипс, определяем его точки на диагоналях M₁Q₁ и P₁R₁. На M₁B₁ строим равнобедренный прямоугольный треугольник B₁M₁N₁ ( B₁M₁N₁ = M₁B₁N₁ =45⁰). Из центра B₁ радиусом B₁N₁ проводим окружность и определяем точки ее пересечения с M₁P₁. Через полученные точки (К₁ и К'₁) проводим прямые, параллельные D₁B₁. Пересечение этих прямых с диагоналями M₁Q₁ и P₁R₁ определяет точки E₁, F₁, G₁ и H₁. Соединяя плавной лекальной кривой точки AE₁B₁F₁СG₁D₁H₁A, получаем эллипс, т.е. изображение в прямоугольной изометрии сечение цилиндра вертикальной плоскостью, наклонной к XOZ.

По этому принципу можно строить окружность, составляю­щую с координатными плоскостями произвольные углы (рисунок 49).

На рисунке 49 показана окружность, лежащая в координатной плоскости ХОУ – эллипс и окружность, расположенная в некоторой плоскости α, составляющей с плоскостью ХОУ угол δ.

Рисунок 49

Между полями плоскостей ХОУ и α установлено родственное соответствие с осью родства ОХ и направлением родства О₁О₂.

Параллелограмму A₁B₁C₁D₁ поля плоскости ХОУ, соответствующему некоторому квадрату ABCD, будет соответствовать параллелограмм А₂В₂С₂Д₂ поля плоскости α. Точки касания сторон квадрата к окружности (1,2,3,4) будут проектироваться в точки касания сторон параллелограмма А₁В₁С₁Д₁ к эллипсу.

Эти точки будут соответствовать точкам касания параллелограмма А₂В₂С₂Д₂ плос­кости α к эллипсу, принадлежащему плоскости (1₂,2₂,3₂,4₂).

Диагональные точки 5₁, 6₁, 7₁, 8 ₁ и 5₂, 6 ₂, 7₂ , 8₂ определяются с помощью равнобедренных прямоугольных треугольников или переносом точек с поля ХОУ на поле α.

На рисунке 50 показано построение среза цилиндра (бревна) наклон­ной плоскостью. Построение выполнено по приведенной выше методике.

Рисунок 50

Более точное построение окружности (эллипса) в плоскости, наклонной к аксонометрическим осям выполняется на основании соответствия окружности и эллипса.

На рисунке 51 представлено уточненное построение эллипса, приведенное на рисунке 48.

Сопряженные диаметры AC и B₁D₁ определяют параллелограмм M₁P₁Q₁R₁ плоскости α, в который требуется вписать эллипс. Всякий эллипс является фигурой, родственной окружности. При этом, чтобы получить эллипс, окружность надо сжать или растянуть в некотором направлении.

На стороне M₁P₁ строим квадрат, т.е. фигуру, соответствующую параллелограмму плоскости α. Полученное соответствие определяет гомологическое преобразование окружности (вписанной в квадрат) в эллипс (вписанный в параллелограмм). Ось гомологии - M₁P₁. Направление преобразования - ОО'.

Каждой точке поля α соответствует определенная точка поля α' (M₁R₁'Q₁'P₁). Точка R₁' соответствует R₁ плоскости α, точка Q₁' – точке Q₁. Диагональ квадрата P₁R₁' соответствует диагонали параллелограмма R₁P₁. Следовательно, чтобы определить точки H₁ и F₁ на R₁P₁, достаточно перенести точки H₁' и F₁' на R₁P₁ по направлению соответствия ОО'. Аналогично определяются точки E₁ и Q₁.

Рисунок 51

На рисунке 51 слева на стороне R₁Q₁ показано построение, определяющее точки эллипса на диагоналях параллелограмма, приведенное на рисунке 48. Эти построения соответственно проще, но использование гомологического проебразования окружности в эллипс позволяет определять сколько угодно случайных точек типа K₁. Для этого через произвольную точку K₁' окружности и ее центр проводим прямую l'. Определяем точку L'=l' ∩ R₁'Q₁'. Находим соответствующую прямую l ОL и переносим точку K₁' на прямую l в точку K₁.

При построении эллипса можно заранее определить его большую и малую оси.

Сам эллипс можно строить, используя его соответствие окружности с дипметром А₁'С₁'=АС или окружности с диаметром D₁''B₁'' = D₁B₁.

На стороне Q₁P₁ (рисунок 51) построен квадрат P₁M₁''R₁''Q₁, в который вписана окружность. Между фигурами P₁M₁''R₁''Q₁ и P₁M₁R₁Q₁ установлено соответствие с осями гомологии i P₁Q₁ и направлением родства О''О.

Проводим через середину отрезка О''О прямую n', препендикулярную О''О и определяем точку ее пересечения с осью гомологии О* = n ∩ Q₁P₁. Из центра О* проводим окружность радиусом R=ОО*=О*О'' и фиксируем точки T₁ и S₁, в которых окружность пересекает ось гомологии.

Направление T₁О l определяет большую ось искомого эллипса, а T₁ О'' - соответствующий диаметр 1₂2₂ l₂. Точки 1₂ и 2₂ и переносим параллельно О₂О на l₁, определяя размер большой оси эллипса (1₁2₁).

Направление S₁О - определяет направление малой оси эллипса, а S₁О'' – соответствующий диаметр окружности. Перенеся точки 3₂ и 4₂ на линию S₁О в точки 3₁ и 4₁, определяем малую ось эллипса.

Чтобы не затемнять построение, определение остальных точек не показано.

Определив большую и малую оси эллипса и найдя достаточное количество дополнительных точек, строим эллипс как локальную кривую.