1.2 Построение модели множественной линейной регрессии и оценка её адекватности

Рассмотрим пример множественной регрессии с тремя факторами и од­ной зависимой переменной.

Руководство авиапредприятия по результатам анализа деятельности 15 своих представительств получило данные за март (табл.1.2).

Таблица 1.2

Данные авиапредприятия по результатам анализа за март

у	х1	х2	х3
79,3	2,5	10,0	3,0
200,1	5,5	8,0	6,0
163,2	6,0	12,0	9,0
200,1	7,9	7,0	16,0
146,0	5,2	8,0	15,0
177,7	7,6	12,0	9,0
30,9	2,0	12,0	8,0
291,9	9,0	5,0	10,0
160,0	4,0	8,0	4,0
339,4	9,6	5,0	16,0
159,6	5,5	11,0	7,0
88,3	3,0	12,0	8,0
237,5	6,0	6,0	10,0
107,2	5,0	10,0	4,0
155,0	3,5	10,0	4,0

В табл.1.2, у (зависимая переменная) – обший доход от проданных билетов, млн. грн.; х₁ – средства на развитие предприятия в регионе, млн. грн.; х₂ – число конкурирующих предприятий; х₃ – процент пассажиров, летавших бесплатно.

Найти уравнение множественной регрессии. Проверить значимость и адекватность регрессионной модели. Существенно ли влияет на доход число пассажиров, летавших бесплатно? Какой доход (в среднем) может ожидать предприятие, вложившее в развитие 2,5 млн. грн., если число конкурирующих предприятий в регионе равно десяти, а число пассажиров, летавших бесплатно по разным причинам, составляет 3 %. Принять уровень значимости α = 0,05.

Р ешение в пакете STAT1STICA. Проведите те же операции в модуле «Множественная регрессия», что и в первой части работы: введите данные – «Анализ» «Множественная регрессия» «Итоговая таблица регрессии». Результаты регрессионного анализа приведены на рис. 1.12.

Рис.1.12. Результаты регрессионного анализа

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

у= 170,76 + 25,42х₁ - 13х_г - 2,7х₃.

Из данной таблицы видно, что гипотеза H₀ > β₃ = 0 принимается на уровне значимости р = 0,267, так как р > α = 0,05. Остальные коэффициенты регрессионной модели значимы.

Проверим гипотезу о незначимости регрессионной модели. Для этого используем опцию «Дисперсионный анализ».

Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице (рис.1.13). Из таблицы видно, что статистика критерия Фишера, вычисляемая по формуле

равна F (3,11) = 34,821, так как р = 0,000007, что меньше, чем α = 0,05, то гипотеза о незначимости модели отклоняется.

Рис.1.13. Таблица дисперсионного анализа

Так как коэффициент β₃ незначим, пересчитаем уравнение множест­венной регрессии используя два фактора х₁ и х₂. Результаты регрессионного анализа приводятся на рис.1.14.

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

у = 159,86 + 22,39х₁ – 12,53х_г.

Коэффициенты регрессионной модели β₀, β₁, β₂ значимы (соответствующие уровни значимости равны соответственно: 0,009; 0,00017; 0,0059).

Рис.1.14. Результаты регрессионною анализа (факторы х₁ и х₂)

Регрессионная модель значима: F = 50,022, уровень значимости р = 0,00000.

Чтобы проверить выполнение предположений регрессионного анализа и адекватность модели рассмотрим остатки. Для этого используем опцию «Анализ остатков».

Начнем с проверки гипотезы о том, что все сериальные корреляции в последовательности остатков равны нулю (гипотеза Н₀). Для проверки этой гипотезы используется критерий Дарбина-Уотсона.

Чтобы проверить гипотезу Н₀, в окне «Результаты множественной регрессии» на вкладке «Остатки/предсказанные/наблюдаемые значения» (рис.1.6) выберем опцию «Анализ остатков» (рис.1.7), а затем на вкладке «Дополнительно» – «Статистика Дарбина-Уотсона». Результат приводится на рис.1.15.

В данном случае статистика Дарбина-Уотсона d = 1,8969, что больше табличного значения d₁ = 1,75 (см. Приложение 1), следовательно, гипотеза Н₀: все сериальные корреляции равны нулю принимается на уровне значимости 2α = 0,1.

Рис.1.15. Статистика Дарбина-Уотсона

Построим график остатков. Для этого в окне «Анализ остатков» (рис.1.7) на вкладке «Остатки» нужно выбрать опцию «Построчные графики остатков». Результаты приводятся на рис.1.16.

Рис.1.16. График остатков

Все остатки укладываются в симметричную относительно нулевой линии полосу шириной ±2S. Это означает, что, по-видимому, дисперсии ошибок наблюдений постоянны.

Теперь проверим гипотезу о нормальности распределения остатков. Для этого в том же окне («Анализ остатков») на вкладке «Вероятностные графики» необходимо выбрать опцию «Нормальный». Результаты выполнения процедуры представлены на специальном графике (рис.1.17).

Рис.1.17. Нормальный вероятностный график остатков

Из графика (рис.1.17) видно, что точки расположены близко к прямой, значит, можно предположить, что остатки распределены по нормальному закону. Гипотезу о нормальном распределении остатков можно также про­верить по критерию χ² или критерию Колмогорова-Смирнова.

Таким образом, можно считать, что предположения регрессионного анализа выполняются. Распределение остатков на рис.1.16 (случайное, без каких-либо закономерностей) показывает, что регрессионная модель адекватна результатам наблюдений и может быть использована для прогнозирования. Для выполнения прогноза в окне «Результаты множественной регрессии» (рис. 1.6) на вкладке «Остатки/предсказанные/наблюдаемые значения» нужно выбрать опцию «Предсказать зависимую переменную», в появившемся окне нужно ввести значения факторов х₁ и х₂ и задать уровень значимости («Границы для предсказания р-уров.») α = 0,05.

В появившемся окне (рис.1.18) приведены результаты прогноза: при х₁ = 2,5, х₂ = 10: в первом столбце приведены оценки параметров регрессии β_і, і = 1, 2; во втором – значения факторов х_і

Рис. 6.15. Результаты прогноза

Предсказываемое значение у выведено в строке «Предсказ.», ниже вычислены 95 % доверительные интервалы для среднего предсказанного значения у = 90,518.