1.2 Факторный анализ
Пример основан на вымышленных данных, относящихся к изучению удовлетворенности жизнью. Предположим, что вопросник был направлен 100 случайно выбранным взрослым. Вопросник содержал 10 пунктов, предназначенных для определения удовлетворенности на работе, удовлетворенности своим хобби, удовлетворенностью домашней жизнью и общей удовлетворенностью в других областях жизни. Ответы на вопросы были введены в компьютер и промасштабированы таким образом, чтобы среднее для всех пунктов стало равным приблизительно 100.
Результаты были помещены в файл данных Factor.sta. Открыть этот файл можно с помощью опции «Файл» – «Открыть»; этот файл данных находится в директории /Examples/Datasets. Ниже приводится список переменные этого файла (для получения списка выберите «Все спецификации переменных» в меню «Данные», рис.1.8).
Целью анализа является изучение соотношений между удовлетворенностью в различных сферах деятельности. В частности, желательно изучить вопрос о числе факторов, «скрывающихся» за различными видами деятельности и их значимость.
Рис.1.8. Вид списка переменных файла Factor.sta
Выберем «Факторный анализ» в меню «Анализ» – «Многомерный разведочный анализ» для отображения стартовой панели модуля «Факторный анализ». Нажмем на кнопку «Переменные» на стартовой панели (рис.1.9) и выберем все 10 переменных в этом файле.
Рис.1.9. . Стартовая панель модуля «Факторный анализ»
Нажмем теперь кнопку OK для перехода к следующему диалоговому окну с названием «Задайте метод выделения факторов» (рис.1.10). С помощью этого окна диалога мы сможем просмотреть описательные статистики, выполнить множественный регрессионный анализ, выбрать метод выделения факторов, выбрать максимальное число факторов, минимальные собственные значения, а также другие действия, относящиеся к специфике методов выделения факторов. Перейдем во вкладку «Описательные».
Рис.1.10. Внешний вид окна «Задайте метод выделения факторов»
Нажмем на кнопку «Просмотреть корр./средние/ст.откл.» в этом окне для того, чтобы открыть окно «Просмотр описательных статистик» (рис.1.11).
Мы можем рассмотреть описательные статистики графически или с помощью таблиц результатов.
Нажмем на кнопку «Корреляции» во вкладке «Дополнительно» для того, чтобы отобразить таблицу результатов с корреляциями (рис.1.12).
Рис.1.11. Внешний вид окна «Просмотр описательных статистик»
Рис.1.12. Корреляционная матрица
Все корреляции в таблице результатов (рис.1.12) положительны, а некоторые корреляции имеют значительную величину. Например, переменные Hobby_1 и Miscel_1 коррелированны на уровне 0,90. Некоторые корреляции (например, корреляции между удовлетворенностью на работе и удовлетворенностью дома) кажутся сравнительно малыми. Это выглядит так, как будто матрица имеет некоторую отчетливую структуру.
Нажмем кнопку «Отмена» в диалоговом окне «Просмотр описательных статистик» для того, чтобы вернуться в диалоговое окно «Задайте метод выделения факторов». Мы можем сделать выбор из нескольких методов выделения во вкладке «Дополнительно» (рис.1.13). В этом примере по умолчанию принимается метод «Главных компонент», поле «Макс. число факторов» содержит значение 2 и поле «Мин. собств. значение» содержит 0 (минимальное значение для этой команды).
Рис.1.13. Внешний вид окна «Задайте метод выделения факторов»
Для продолжения анализа нажмем кнопку OK.
Результаты факторного анализа можно просмотреть в окне диалога «Результаты факторного анализа» (рис.1.14). Сначала выберем вкладку «Объясненная дисперсия».
Нажмем на кнопку «Собственные значения», чтобы получить таблицу с собственными значениями, процентом общей дисперсии, накопленными собственными значениями и накопленными процентами (рис.1.15).
Рис.1.14. Внешний вид окна «Результаты факторного анализа»
Рис.1.15. Таблица с собственными значениями, процентом общей дисперсии, накопленными собственными значениями и накопленными процентами
Как видно из таблицы (рис.1.15), собственное значение для первого фактора равно 6,118369; т.е. доля дисперсии, объясненная первым фактором равна приблизительно 61,2%. Заметим, что эти значения случайно оказались здесь легко сравнимыми, так как анализу подвергаются 10 переменных, и поэтому сумма всех собственных значений оказывается равной 10. Второй фактор включает в себя около 18% дисперсии.
В соответствии с критерием Кайзера (Kaiser, 1960), мы должны оставить факторы с собственными значениями большими 1. Из приведенной выше таблицы следует, что критерий привел к выбору двух факторов.
Теперь нажмем на кнопку «График каменистой осыпи», чтобы получить график собственных значений с целью применения критерия осыпи Кэттеля (Cattell, 1966). График, представленный ниже, был дополнен отрезками, соединяющими соседние собственные значения, чтобы сделать критерий более наглядным. Кэттель (Cattell) утверждает, основываясь на методе Монте-Карло, что точка, где непрерывное падение собственных значений замедляется и после которой уровень остальных собственных значений отражает только случайный «шум». На графике (рис.1.16) эта точка может соответствовать фактору 2 или 3 (как показано стрелками).
Рис.1.16. Внешний вид «Графика каменистой осыпи»
Рассмотрим факторные нагрузки, которые можно интерпретировать как корреляции между факторами и переменными. Они представляют наиболее важную информацию, на которой основывается интерпретация факторов. Сначала посмотрим на (неповернутые) факторные нагрузки для всех десяти факторов. Во вкладке «Нагрузки» диалогового окна «Результаты факторного анализа» в поле «Вращение факторов» задайте значение без вращения и нажмите на кнопку «Факторные нагрузки» для отображения таблицы нагрузок (рис.1.17).
Рис.1.17. Внешний вид таблицы факторных нагрузок
Выделение факторов происходило таким образом, что последующие факторы включали в себя все меньшую и меньшую дисперсию. Поэтому не удивительно, что первый фактор имеет наивысшую нагрузку. Отметим, что знаки факторных нагрузок имеют значение лишь для того, чтобы показать, что переменные с противоположными нагрузками на один и тот же фактор взаимодействуют с этим фактором противоположным образом. Однако вы можете умножить все нагрузки в столбце на -1 и обратить знаки. Во всем остальном результаты окажутся неизменными.
Рассмотрим количество факторов, которое мы желаем оставить для вращения и интерпретации. Ранее было решено, что наиболее правдоподобным и приемлемым числом факторов является два. Нажмем на кнопку «Отмена» для того, чтобы возвратиться в окно диалога «Задайте метод выделения факторов», и изменим поле «Максимальное число факторов» во вкладке «Быстрый» с 10 на 2, затем нажмем кнопку OK для того, чтобы продолжить анализ.
Теперь выполним вращение по методу варимакс. Во вкладке «Нагрузки» диалогового окна «Результаты факторного анализа» в поле «Вращение факторов» установим значение «Варимакс исходных» (рис.1.18).
Рис.1.18. Внешний вид окна «Результаты факторного анализа»
Нажмем кнопку «Факторные нагрузки» для отображения в таблице результатов получаемых факторных нагрузок (рис.1.19).
Все выглядит так, как будто два фактора лучше всего идентифицировать как фактор удовлетворения работой (фактор 1) и как фактор удовлетворения домашней жизнью (фактор 2). Удовлетворение своим хобби и различными другими аспектами жизни кажется относящимися к обоим факторам. Эта модель предполагает в некотором смысле, что удовлетворенность работой и домашней жизнью согласно этой выборке могут быть независимыми друг от друга, но оба дают вклад в удовлетворение хобби и другими сторонами жизни.
Рис.1.19. Таблица факторных нагрузок
Для получения диаграммы рассеяния двух факторов нажмем на кнопку «2М график нагрузок» во вкладке «Нагрузки» диалогового окна «Результаты факторного анализа». Диаграмма (рис.1.20) показывает две нагрузки для каждой переменной. Заметим, что диаграмма рассеяния хорошо иллюстрирует два независимых фактора и 4 переменных (Hobby_1, Hobby_2, Miscel_1, Miscel_2) с перекрестными нагрузками.
Рис.1.20. Диаграмма «2М график нагрузок»
Посмотрим, насколько хорошо может быть воспроизведена наблюдаемая ковариационная матрица по двухфакторному решению.
Нажмем на кнопку «Воспроизведенные и остаточные корреляции» во вкладке «Объясненная дисперсия», для того чтобы получить две таблицы с воспроизведенной корреляционной матрицей и матрицей остаточных корреляций (рис.1.21).
Рис.1.21. Таблица «Остаточных корреляций»
Входы в таблице «Остаточных корреляций» могут быть интерпретированы как «сумма» корреляций, за которые не могут отвечать два полученных фактора. Диагональные элементы матрицы содержат стандартное отклонение, за которое не могут быть ответственны эти факторы и которые равны квадратному корню из единицы минус соответствующие общности для двух факторов. Если мы тщательно рассмотрим эту матрицу, то сможем увидеть, что здесь фактически не имеется остаточных корреляций, больших 0,1 или меньшие -0,1 (в действительности только малое количество из них близко к этой величине). Добавим к этому, что первые два фактора включают около 79% общей дисперсии (см. накопленный % собственных значений в таблице результатов).
Пример, который мы только что изучили, на самом деле дает решение двухфакторной задачи, близкое к идеальному. Оно определяет большую часть дисперсии, имеет разумную интерпретацию и воспроизводит корреляционную матрицу с умеренными отклонениями (остаточными корреляциями). На самом деле реальные данные редко позволяют получить такое простое решение, и в действительности это фиктивное множество данных было получено с помощью генератора случайных чисел с нормальным распределением, доступного в системе. Специальным образом в данные были «введены» два ортогональных (независимых) фактора, по которым были сгенерированы корреляции между переменными. Этот пример факторного анализа воспроизводит два фактора такими, как они и были, (т.е. фактор удовлетворенности работой и фактор удовлетворенности домашней жизнью). Таким образом, если бы явление (а не искусственные, как в примере, данные) содержало эти два фактора, то мы, выделив их, могли бы кое-что узнать о скрытой или латентной структуре явления.