1.7.2. Точка и линия, лежащие на поверхности

Правило принадлежности: точка принадлежит поверхности, если ее проекции лежит на одноименных проекциях линии, заведомо принадлежащей поверхности.

Чтобы построить точку, лежащую на поверхности, следует сначала через эту точку повести какую-либо линию, лежащую на поверхности.

На криволинейных поверхностях в таких случаях рекомендуется проводить образующую l или направляющую m поверхности, т. к. это часто либо прямая линия, либо окружность. На многогранных поверхностях проводят произвольную прямую линию.

На рис. 81 показано построение точки А, лежащей на поверхности конуса двумя возможными способами: 1) с помощью образующей l ≡ SK; 2) с помощью направляющей окружности. Пусть дана фронтальная проекция точки А – А₂. Требуется построить ее горизонтальную проекцию при условии, что точка А – видима.

Рис. 81

Ход построений

1. Через А₂ проводим фронтальную проекцию образующей l ≡ S₂K₂ (либо направляющей m₂).

2. Находим горизонтальную проекцию образующей l по точкам S₁ и K₁ (направляющей окружности m по диаметру).

3. Исходя из условия принадлежности точки А образующей l (направляющей m) находим горизонтальную проекцию точки А₁.

Методика построений проекций точек и линий на цилиндрической поверхности (на цилиндре) принципиально не отличается от методики их построения на конусе.

Разница проявляется в том, что у прямого цилиндра все образующие – проецирующие прямые, а все параллели равны между собой и их горизонтальные проекции совпадают (сливаются). Боковая поверхность прямого кругового цилиндра является проецирующей и обладает собирательным свойством. Все точки поверхности должны находиться на вырожденной проекции цилиндра, перпендикулярной оси вращения – окружности.

Сферическая поверхность абстрактная, потому, что все проекции сферы (шара) – окружности равной величины, ни одна не обладает собирательным свойством, основания нет, прямую линию на сферической поверхности провести нельзя.

Проекции точек и линий строятся с помощью окружностей, которые не всегда являются параллелями. Очевидным является то, что любая параллель и любая окружность на одной плоскости проекций видны в натуральную величину, на двух других изображаются отрезком прямой, равным диаметру.

Главное: для построения проекций точек и линий на поверхности сферы можно использовать только окружности, проведенные через заданную точку или в натуральную ее величину или в виде вырожденной проекции.

1.7.3. Сечение многогранников плоскостью

Под сечением тела плоскостью понимают ту часть плоскости, которая находится внутри рассеченного тела. Контур сечения есть линия пересечения поверхности многогранника с секущей плоскостью.

Сечение многогранников всегда многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны на его гранях. Отсюда и возникают два способа построения сечения многоугольника.

1. Находят его вершины как точки пересечения ребер многогранника секущей плоскостью. Затем вершины соединяют между собой.

2. Строят стороны многоугольника сечения как линии пересечения граней многогранника секущей плоскостью.

Ввиду большей простоты решения обычно предпочитают первый способ, хотя в отдельных случаях удобно комбинировать оба способа.

Если секущая плоскость – плоскость общего положения, то проще всего преобразовать секущую плоскость методом перемены плоскостей проекций в проецирующую (см. § Перемена плоскостей проекций).

Задача. Построить сечение пирамиды плоскостью и найти его натуральную величину (рис. 82).

Так как секущая плоскость фронтально проецирующая, фронтальная проекция фигуры сечения определяется сразу и представляет собой отрезок 1₂ - 4₂. Устанавливаем количество и принадлежность вершин фигуры сечения ребрам пирамиды: 1 SA; 2 SB; 3 AC; 4 BC. Находим горизонтальные проекции вершин фигуры сечения с помощью вертикальных линий проекционной связи исходя из принадлежности их соответствующим ребрам пирамиды. Соединяем горизонтальные проекции вершин с учетом видимости сторон фигуры сечения. Только сторона 3-4 лежит на невидимом основании пирамиды и, следовательно, невидима (если смотреть сверху)

Рис. 82

Итак, проекции фигур сечения найдены. Определим видимость пирамиды при условии, что секущая плоскость и пирамида непрозрачны. Начнем с фронтальной проекции: так как плоскость сечения сливается на этой плоскости проекций в прямую, она не может закрывать пирамиду. Ввиду непрозрачности пирамиды ее ребро SB не видно, так как является задним, а грань ASC передняя и закрывает остальную часть пирамиды (чтобы установить это, надо на горизонтальную проекцию смотреть по стрелке R).

Чтобы определить видимость на горизонтальной проекции, смотрим на фронтальную проекцию по стрелке S. Все, что лежит между секущей плоскостью ω и стрелкой S, на горизонтальной проекции видно, остальное – не видно. Сама фигура сечения видна по периметру 4 2 1 3, - так как эта ее часть лежит на боковой видимой поверхности пирамиды и делит пирамиду на видимую и невидимую части. Сторона сечения 3-4 не видна, так как лежит на основании пирамиды и закрыта самим телом пирамиды.

Натуральную величину фигуры сечения можно определить методом перемены (замены) плоскостей проекций или вращением. Определим вторым методом. Повернем фигуру сечения вокруг стороны 3-4 (фронтально-проецирующая прямая) до наложения на плоскость П₁. При этом фронтальные проекции вершин фигуры сечения перемещаются по окружностям, а горизонтальные – по прямым, перпендикулярным к проекции оси вращения i ≡ 3-4. Натуральная величина фигуры сечения – 3421 (3₁4₁2₁’1₁’).