27. Сравнение двух групп: критерий Стьюдента.

Критерий Стьюдента применяется в том случае, когда требуется дать ответ: отличаются ли достоверно, т.е. надежно, результаты одной группы от результатов другой группы.

В дисперсионном анализе наравне с F-критерием применяется и другой критерий, который называется t-критерий Стьюдента. Суть данного критерия заключается в том, что оценивается степень расхождения средних арифметических показателей двух групп данных (М₁ и М₂)относительно дисперсии σ², т.е разброса индивидуальных данных, рассчитанной применительно к этим двум группам, где количество членов соответствует  N₁ и N₂.

Формула расчета t- критерия имеет следующий вид:

Но эта формула используется в том случае, когда выборки примерно равны по численности. В случае, когда выборки отличаются по своим размерам, применяется другая – более сложная формула расчета критерия:

где N₁ и N₂ соответствуют количеству членов 1-й и 2-й групп испытуемых.

Критерий Стьюдента относится к группе параметрических критериев, т.к. в своих расчетах опирается на «параметры» распределения (средние арифметические величины и дисперсии). А поскольку «параметры», или описательные статистики (если речь идет о малых выборках) адекватны только для сравнения нормальных распределений, то и критерий Стьюдента применяют обычно для оценки достоверности различий между двумя группами данных, где имеет место нормальное распределение или близкое к нему.

28. Число степеней свободы

Количество степеней свободы — это количество значений в итоговом вычислении статистики, способных варьироваться. Иными словами, количество степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин, количество «свободных» величин, необходимых для того, чтобы полностью определить вектор.

Количество степеней свободы может быть не только натуральным, но и любым действительным числом, хотя стандартные таблицы рассчитывают p-value наиболее распространённых распределений только для натурального числа степеней свободы.

29. Критическое значение критерия

Стандартные таблицы функций распределения. Такое традиционное представление имеет свои преимущества перед вероятностным калькулятором (например, таким, который включен в систему STATISTICA), поскольку в таблицах одновременно представлено большое число значений, и пользователь может достаточно быстро исследовать большой диапазон значений вероятностей.

• Z-распределение

• t-распределение

• Хи-квадрат распределение

• F-распределение для:

1. alpha=.10

2. alpha=.05

3. alpha=.025

4. alpha=.01

30. Критическая область и область принятия гипотез

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Так как критерий K – одномерная случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и, соответственно, должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Такие точки называются критическими точками.

Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством  , где   – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством  , где   – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами  , где  . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами   или равносильным неравенством  . Различия между вариантами критических областей иллюстрирует следующий рисунок.

Рис. 1. Различные варианты критических областей a) правосторонняя, b) левосторонняя, с) двусторонняя

Резюмируя, сформулируем этапы проверки статистической гипотезы:

Формулируется нулевая гипотеза  ; Определяется критерий K, по значениям которого можно будет принять или отвергнуть   и выбирается уровень значимости  ; По уровню значимости определяется критическая область; По выборке вычисляется значение критерия K, определяется, принадлежит ли оно критической области и на основании этого принимается   или  .