1.2. Методические особенности изучения табличного умножения и деления

в начальном курсе математики

Рассмотрим смысл действия умножения. Из курса математики вам известно, что если а и b целые неотрицательные числа, то:

а ) а ∙ b = а + а + а +...+ а, при b > 1;

b слагаемых

б) а ∙ 1 = а, при b = 1;

в) а ∙ 0 = 0, при b = 0.

Теоретико-множественная трактовка этого определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения.

Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается подсчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты (это может быть клетчатая часть доски). Они, естественно, начинают действовать способом по единичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти более простой путь поиска ответа. Конечно, сами учащиеся могут и не догадаться о рациональном способе действия, но, тем не менее, при этом будут созданы благоприятные психологические условия для его принятия .

Аналогичный пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты). Нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле.

Рис. 1.1

Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11+11+11+11). После этого учитель вводит новую запись 11 ∙ 4 = 44 и предлагает учащимся сопоставить эти две записи. Выясняется: что обозначает во втором равенстве первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько таких слагаемых).

Для усвоения смысла умножения полезно использовать приемы сравнения, выбора, преобразования и конструирования, предлагая различные виды заданий:

а) на соотнесение рисунка и математической записи:

Прочитай записанные под рисунками выражения и догадайся, что обозначают в каждом произведении первый и второй множители:

Рис. 1.2

4 ∙ 3 6 ∙ 5

3 ∙ 4 5 ∙ 6

б) на выбор рисунка, соответствующего данной записи:

Выбери рисунок, который соответствует записи 2 ∙ 6.

Рис. 1.3

в) на преобразование рисунка в соответствии с математической записью.

Какие изменения нужно внести в другие рисунки, чтобы они соответствовали записи 2 ∙ 6?

г) на выбор записи, соответствующей данному рисунку;

д) на сравнение выражений на основе определения умножения:

Можно ли, не вычисляя значений выражений, ответить на вопрос: насколько значение первого произведения в каждом столбике меньше значения второго произведения?

6 ∙ 4 5 ∙ 3 7 ∙ 8 6 ∙ 3 7 ∙ 2

6 ∙ 5 5 ∙ 4 7 ∙ 9 6 ∙ 5 7 ∙ 4

Не выполняя вычислений, найди в каждом столбике «лишнее» выражение:

9 ∙ 5 8 ∙ 4 7 ∙ 4

9 ∙ 6 - 6 8 ∙ 5 - 4 7 ∙ 3 + 3

9 ∙ 4 + 9 8 ∙ 3 + 8 7 ∙3 + 7

9 ∙ 6 - 9 8 ∙ 5 - 8 7 ∙ 5 - 7

е) на замену произведения суммой и суммы произведением:

Замени там, где можно, сложение умножением и запиши, чему равно значение каждого выражения:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 1 + 1 + 1 + 1 + 1

4 + 4 + 4 + 4 + 4 0 + 0 + 0 + 0 + 0

Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

3 + 3 + 3 + 3 + □ = 3 ∙ 6

4 + 4 + 4 + □ + □ + □ = 4 ∙ 6

ж) на сравнение двух произведений, значение одного из которых известно:

Как можно вычислить значения произведений, пользуясь данными равенствами:

6 ∙ 8 = 48 7 ∙ 8

7 ∙ 9 = 63 6 ∙ 9

Вычисли значения произведений в каждом столбике, пользуясь данным равенством:

9 ∙ 5 = 45 8 ∙ 7 = 56 7 ∙ 6 = 42

9 ∙ 4 8 ∙ 6 7 ∙ 5

9 ∙ 6 8 ∙ 8 7 ∙ 7

Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Поэтому важно разъяснить детям, что запись 2 ∙ 5 можно прочитать: «2 повторить 5 раз», «по 2 взять 5 раз», «2 умножить на 5» и «2 увеличить в 5 раз».

Тем не менее, в различных учебниках математики этот вопрос решается по-разному.

В учебнике 2 класса М.И. Моро вводятся понятия «больше в» и «меньше в» одновременно. Естественно, это можно сделать только после того, как дети познакомятся с делением. В связи с этим работа над усвоением смысла умножения и понятием «больше в» значительно разведена во времени. Для введения понятий «больше в», «меньше в» в учебнике используется комментирование рисунков. На одном изображены зеленые квадраты и синие круги [31, с. 83].

Рис. 1.4

К рисунку дано пояснение: «Квадратов 3. Синих кружков 4 раза по 3. Кружков в 4 раза больше, чем квадратов, а квадратов в 4 раза меньше, чем кружков».

Ориентируясь на данные образцы, учащиеся выполняют такое задание:

Сделай по задачу рисунок и реши задачу: «Для детей детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых, Сколько красных мячей купили детям?»

Так как в учебнике реализуется подход, при котором простая задача является средством формирования понятий, то последующая работа по усвоению понятий «больше в», «меньше в» связана с решением простых задач на предметном уровне. Для того, чтобы дети не путали понятия «больше в» и «меньше в», им предлагаются задания вида:

«Сделай по задаче рисунок и реши задачу».

1. Сережа вырезал 4 красных квадрата, а синих в 3 раза больше, чем красных. Сколько синих квадратов вырезал Сережа?

2. Зина вырезала 4 красных квадрата, а синих на 3 квадрата больше, чем красных. Сколько синих квадратов вырезала Зина?

В учебнике 2 класса Н.Б. Истоминой вопрос, связанный с введением понятий «увеличить в», «уменьшить в», решается методически иначе.

Во-первых, понятие «увеличить в» вводится сразу после знакомства со смыслом умножения, а понятие «уменьшить в» после знакомства со смыслом деления.

Во-вторых, при введении понятия «увеличить в» предлагается задание, при выполнении которого дети могут активно использовать как приемы умственных действий – анализ, синтез и сравнение, так и ранее усвоенные знания. В основе выполнения задания лежит способ соотнесения рисунка и математической записи: учащиеся сравнивают два рисунка и отвечают на вопрос: «Что изменилось слева направо?»

Результаты проведенного анализа соотносятся с выражениями, которые записаны под рисунками:

3 + 9 Рис. 1.5

3 ∙ 4

Ответы детей: «Справа кругов больше, чем слева», «Слева 3 круга, а справа 3 круга повторяются 4 раза». Этот ответ соотносится с записью 3 ∙ 4, т.е. данная запись отражает те изменения, которые произошли с левым рисунком, «Справа на 9 кругов больше, чем слева». Это высказывание соотносится с записью 3 + 9, которую учащиеся связывают с понятием «увеличить на».

Естественно, возникает вопрос, как увеличивается число 3, если его повторять слагаемым 4 раза. «В этом случае говорят, что 3 увеличили в 4 раза», сообщает учитель.

Поле этого предлагаются различные задания на соотнесение рисунка и математической записи (выражения); на запись и на выбор выражений, соответствующих паре рисунков.

Затем предметные множества заменяются схемами. Для этой цели используются отрезки. Например:

Выбери отрезок, который в 6 раз больше отрезка АВ.

Рис. 1.6

Начерти отрезок, который 4 раза больше данного.

Рассмотрим смысл действия деления. Основой формирования у младших школьников представлений о смысле деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов.

Выбор этого подхода обусловлен тем, что он позволяет опираться на жизненный опыт ребенка при введении новой терминологии и математической записи. Действительно, большинство учащихся легко справляются с таким практическим заданием: «Раздай 10 яблок – по 2 каждой девочке».

Наглядное изображение выполняемых действий помогает ребенку осознать их математический смысл.

Рис. 1.7

Он сводится к разбиению конечного множества яблок на равночисленные подмножества (по 2 яблока). В результате получаем число частей в этом разбиении. На языке, доступном младшему школьнику, это означает, что он разделил яблоки на части, по 2 яблока в каждой, т.е. узнал: «сколько раз по 2 содержится в 10». Выполненные действия в математике принято записывать так: 10 : 2 = 5 (десять разделить на 2 – получится 5).

Доступно им и такое задание: «Раздай 10 яблок поровну двум девочкам».

В данной ситуации учащиеся могут действовать по-разному:

а) одни будут брать по одному яблоку и раздавать их девочкам по очереди (сначала одной девочке, потом другой), пока не раздадут все;

б) другие могут сразу взять два яблока, т.к. девочек две, и разделить между ними эти яблоки, затем так же поступить со второй парой яблок, с третьей и т.д., пока не раздадут все яблоки.

В результате выполнения описанных действий множество всех яблок будет разделено на 2 равные части, численность каждой из которых равна пяти.

Процесс деления на равные части довольно трудно изобразить на рисунке, но когда деление выполнено практически и определена численность каждой части, рисунок можно использовать для того, чтобы учащиеся осознали результат выполненного предметного действия:

Рис. 1.8

Таким образом, частное может обозначать число частей, на которые разделили данное количество яблок (при этом делили поровну, по 2 яблока в каждой части). Этот случай деления в методике математики принято называть деление по содержанию. Но частное может обозначать количество яблок в каждой части (при этом делили опять же поровну, на 2 равные части). Этот случай называют делением на равные части.

В практике начального обучения принято сначала рассматривать ситуации, связанные только с первым случаем деления, затем со вторым. Некоторые учителя вводят даже термины «деление по содержанию» и «деление на равные части», требуя от школьников узнать каждый случай деления и назвать его.

При этом, когда выполняется деление «по содержанию», нужно говорить, что «10 разделили по 2», а когда выполнено «деление на равные части», то надо говорить, что «10 (десять) разделили на два».

Но при чтении числовых равенств (10 : 2 = 5; 8 : 4 = 2) целесообразно пользоваться только формулировкой: «10 разделить на 2; 8 разделить на 4», независимо от тех конкретных ситуаций, которые соответствуют данным равенствам.

Термин «разделить по» употребляется в случае, когда речь идет о конкретных предметах, что связано с особенностями русского языка. Например, по-русски не говорят: «10 яблок разделить на 2 яблока», говорят так: «10 яблок разделить по 2 яблока». При чтении же числового равенства мы не называем предметы, потому можно сказать: «десять разделить на 2, получим 5». Термины «деление по содержанию» и «деление на равные части» вводить не следует, так как числовые равенства вида 10 : 2 = 5 могут соответствовать предметной ситуации, связанной как с «делением по содержанию», так и с «делением на равные части».

Но в этом случае целесообразно использовать другой методический подход, при котором учащиеся усваивают смысл деления не в процессе решения простых задач, а устанавливая соответствие между предметными моделями и математической записью [Истомина, 2002, с. 90].

Этот подход нашел отражение в учебнике 2 класса Н.Б. Истоминой. Рассмотрим, как организуется деятельность учащихся.

1. Ориентируясь на рисунок, который дан в учебнике, учитель делит по-разному 12 конфет (пользуясь демонстрационным фланелеграфом), а школьникам предлагает проанализировать свои действия.

Для того чтобы акцентировать внимание детей на существенном признаке предметного смысла деления, необходимо выяснить, чем похожи и чем отличаются данные картинки. Называются различные признаки: «на одной картинке 12 конфет и на другой тоже 12», «конфеты разделили на части», «в каждой части одинаковое количество конфет», «части равны» и т.д.

Рис. 1.9

Если учащиеся не смогут в обобщенном виде указать существенный признак сходства (одинаковое количество конфет в каждой части), то следует адресовать этот же вопрос к такой паре картинок:

Рис. 1.10

Дети сразу замечают, что на одной картинке в каждой части одинаковое количество конфет, а на другой разное. Это позволяет им самостоятельно выполнить рисунки других способов деления 12 конфет на равные части:

Рис. 1.11

Последующая работа сводится к выбору выражений, соответствующих каждой картинке.

В процессе обсуждения ответов выясняется, что, например, выражение 12:4 соответствует первому рисунку (12 – это все конфеты, а 4 – это число конфет в каждой группе) и второму (12 – все конфеты, а 4 – это количество групп или частей).

В результате такой деятельности у детей формируется представление о предметном смысле деления.

В процессе выполнения приведенных выше заданий учащиеся осознают связь действий умножения и деления, которая обобщается в виде правил, отражающих взаимосвязь компонентов и результатов умножения и деления. Эти правила формулируются в таком виде:

– Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.

– Если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.

– Если делимое разделить на значение частного, то получим делитель.

Формирование представлений о смысле деления связано с введением понятий «уменьшить в несколько раз» («меньше в ») и «кратное сравнение» («во сколько раз меньше?», «во сколько раз больше?»).

Для их усвоения используются также действия с предметными множествами. Однако деятельность учащихся может быть организована по-разному.

При одном подходе (он нашел отражение в учебнике 2 класса М.И. Моро) дается образец действия. Предлагается рисунок:

Рис. 1.12

Он комментируется следующим образом:

В первом ряду 8 кружков, а во втором нужно положить в 4 раза меньше.

Чтобы получить в 4 раза меньше кружков, чем 8, разделили 8 кружков на 4 равные части и взяли столько, сколько их в одной части. Сколько кружков положили во второй ряд?

Для усвоения способа действия учащиеся решают простые задачи на предметном уровне. Например:

Сделай по задаче рисунок и реши задачу.

1. У Володи было 8 красных кружков, а синих в 2 раза меньше. Сколько синих кружков было у Володи?

2. Юннаты вырастили 10 цыплят, а утят в 5 раз меньше, чем цыплят. Сколько утят вырастили юннаты?

При другом подходе (он нашел отражение в учебнике 2 класса Н.Б. Истоминой) учащимся предлагаются два рисунка, которые они должны сравнить, ответив на вопросы:

– Что изменилось с лева на право?

– Что изменилось с права на лево?

Рис. 1.13

Что обозначают выражения:

3 + 9 12 - 9

3 ∙ 4 12 : 4

Ориентируясь на известные понятия «увеличить на» и «увеличить в», которые связаны с первой парой выражений (3 + 9 и 3 - 4), учащиеся высказывают предположение о том, что выражение 12 : 4 связано с понятием «уменьшение в». Для обоснования этого предположения они используют рисунок. (Слева 3 круга, справа 3 круга повторяются 4 раза. Это означает, что количество кругов увеличили в 4 раза. Справа 12 кругов. Если разделить их на 4 равные части, то в каждой части получим кругов в 4 раза меньше.)

С точки зрения рассмотренных понятий – увеличить на (в), уменьшить на (в) – анализируются другие рисунки:

Рис. 1.14

Затем выясняется, к каким рисункам можно записать все четыре выражения, а к каким только два:

Рис. 1.15

3 + 2 5 + 5 5 ∙ 2

5 – 2 10 - 5 10 : 2

Для усвоения смысла нового понятия выполняются также практические задания:

Что ты можешь сказать о длине отрезков в каждой паре?

Рис. 1.16

С помощью циркуля и линейки учащиеся отвечают на поставленный вопрос, используя понятия «больше в», «меньше в», «больше на», «меньше на».

Нарисуй фигуру, площадь которой в 2 раза меньше площади данной фигуры.

Рис. 1.17

Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления, как уже было сказано, учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй – с их усвоением, т.е. прочным запоминанием.

Так как в современной начальной школе речь идет о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблиц умножения (деления) предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приемов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении этих таблиц.

В число таких вопросов входят: смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых, переместительное свойство умножения, взаимосвязь компонентов и результата умножения, смысл деления.

Однако последовательность составления таблиц и организация деятельности учащихся, направленной на их усвоение, может быть различной.

Например, в учебнике М.И. Моро 2 класс учащиеся сначала изучали все теоретические вопросы и только после этого приступали к составлению таблиц умножения и деления.

Таблица умножения и деления с числом 2 составлялась на одном уроке и имела такой вид:

2 ∙ 2 3 ∙ 2 6 : 2 6 : 3

2 ∙ 3 4 ∙ 2 8 : 2 8 : 4

2 ∙ 4 5 ∙ 2 10 : 2 10 : 5

2 ∙ 9 9 ∙ 2 18 : 2 18 : 9

При вычислении результатов в первом столбике произведение заменялось суммой или использовалось предыдущее равенство. Вычисляя значения выражений второго столбика, дети использовали переместительное свойство умножения. Результаты третьего и четвертого столбиков находились с помощью правила: если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.

Составление таких таблиц не вызывало у детей затруднений. Тем более, одни и те же действия многократно повторяются.

Одновременное составление четырех столбиков равенств, которые учащиеся должны усвоить на уровне навыка, обусловливается следующим.

1. Предполагается, что усвоение первого столбика таблицы на уровне навыка способствует запоминанию второго, третьего и четвертого столбиков. Так, запомнив, например, что 2 ∙ 4 = 8, учащиеся легко найдут значение выражения

4 ∙ 2, применив переместительное свойство умножения. А при нахождении значений выражений 8 : 2 и 8 : 4 они смогут опять же использовать знание случая 2 ∙ 4 = 8, применив к нему правило о взаимосвязи компонентов и результатов умножения.

Аналогичный подход осуществлялся при составлении таблиц умножения и деления с числом 3.

В связи с тем, что случай 3 ∙ 2 уже рассматривался, таблица умножения трех начинается с произведения, в котором одинаковые множители:

3 ∙ 3 4 ∙ 3 12 : 3 12 : 4

3 ∙ 4 5 ∙ 3 15 : 3 15 : 5

3 ∙ 5 6 ∙ 3 ……. …....

………………………………………………………………………………………

3 ∙ 9 9 ∙ 3 27 : 3 27 : 9

Таким образом, количество случаев в каждой следующей таблице сокращается, и последняя таблица умножения девяти содержит один случай 9 ∙ 9 = 81; 81 : 9 = 9.

2. Предполагается, что такое составление таблиц умножения и деления позволяет учащимся лучше осознать взаимосвязь между этими действиями.

Однако, несмотря на указанные преимущества данного подхода, учащиеся испытывают большие трудности при усвоении на уровне навыка второго столбика таблицы, не говоря уже о третьем и четвертом. Это можно объяснить различными причинами.

Во-первых, не все дети, в силу своих индивидуальных особенностей, могут за отведенное программой время усвоить непроизвольно на уровне навыка первый столбик таблицы. Это, естественно, создает трудности для усвоения второго, третьего и четвертого столбиков.

Во-вторых, не все дети могут в свернутом виде (т.е. на уровне навыка) выполнить операции, которые связаны с применением переместительного свойства умножения и правила о взаимосвязи множителей и произведения.

В-третьих, не все дети могут осознать взаимосвязь между составленными таблицами.

Например, таблица умножения (деления) с числом 9 содержит один случай: 9 ∙ 9 (81 : 9), а случай 9 ∙ 8 имеет место в предшествующей таблице, 9 ∙ 7 – в таблице умножения (деления) с числом 7 и т.д., а случай 9 ∙ 2 в таблице умножения (деления) с числом 2.

Наконец, в-четвертых, каждая таблица умножения (деления), особенно для чисел 2, 3, 4, имеет большой объем, поэтому установка на запоминание всех столбиков каждой таблицы также оказывается неэффективной.

Задача методики – найти такие способы организации деятельности учащихся, которые позволили бы учесть или устранить названные трудности, создав тем самым необходимые дидактические условия для эффективного формирования табличных навыков умножения и деления.

В дальнейшем в учебнике 2 класса М.И. Моро были внесены изменения в составление таблицы умножения (деления) с числом 2. А именно: после усвоения смысла умножения стала составляться только одна таблица – умножение числа 2.

Затем дети знакомятся с переместительным свойством умножения и составляют таблицу «Умножение на 2». На усвоение этих двух столбиков отводится определенное время. В этот период учащиеся рассматривают такие вопросы, как смысл деления, взаимосвязь множителей и произведения, решают задачи и только после этого составляют третий и четвертый столбики таблицы деления. Для этой цели используется таблица умножения и правило о взаимосвязи произведения и множителей.

Таким образом, усвоение таблицы умножения (деления) с числом 2 распределяется во времени. Тем самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков.

В учебнике М.И. Моро (1 – 4) также наблюдается тенденция к распределению во времени процесса составления и усвоения таблиц умножения и деления. А именно: после усвоения смысла умножения как сложения одинаковых слагаемых составляется только часть таблицы «Умножение числа 2», при этом дано указание: «Вычисли и запомни: 2 ∙ 2, 2 ∙ 3, 2 ∙ 4, 2 ∙ 5».

Вторая часть таблицы умножения двух составляется на другом уроке.

Аналогично организуется работа с таблицей «Умножение числа 3» с тем же указанием: «Вычисли и запомни».

После изучения переместительного свойства умножения составляется таблица «Умножение на 2», за тем «Умножение на 3».

Познакомив учащихся со смыслом деления, авторы предлагают различные упражнения, подготавливающие учащихся к составлению таблиц деления с числом 2 и с числом 3.

Рассмотрим особенности подхода к формированию навыков табличного умножения и деления, который, нашел отражение в учебнике М.И. Моро.

1. Составление и усвоение таблиц умножения (деления) органически включается в содержательную линию курса. В связи с этим в учебнике нет заголовков «Умножение на 2», «Умножение на 3» и т.д. Табличные случаи умножения учащиеся усваивают в процессе изучения смысла умножения (тема «Умножение»), переместительного свойства умножения, понятия «увеличить в несколько раз» и тем «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное свойство умножения». Это позволяет предложить детям интересные содержательные упражнения, выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения. Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся в теме «Таблица умножения», где учащимся дается задание, при выполнении которого они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения.

Таким образом, сначала формируются навыки табличного умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени.

При формировании навыков табличного деления выполняются те же условия. А именно: усвоение табличных случаев деления распределено во времени и органически включается в содержательную линию курса.

Для этой цели в процесс усвоения смысла деления (тема «Деление»), правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления, при изучении понятия «увеличить в несколько раз» и кратного сравнения включены задания на деление чисел, при выполнении которых учащиеся используют таблицу умножения.

2. Составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9. Это позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток (заменяя произведение суммой), но и сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях табличного умножения: 9 ∙ 8, 9 ∙ 6, 9 ∙ 7, по отношению к которым дается установка на запоминание.

3. Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определенной системе даются установки на запоминание трех-четырех табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована не на последовательное увеличение второго множителя (9 ∙ 2, 9 ∙ 3, 9 ∙ 4, 9 ∙ 5 и т.д.), а на запоминание определенных табличных случаев. Например, первая «порция», рекомендуемая для запоминания в таблице умножения числа 9 включает случаи: 9 ∙ 5, 9 ∙ 6, 9 ∙ 7. В качестве опорного может выступать случай 9 ∙ 6, запомнив который учащиеся могут быстро найти значения произведений 9 ∙ 5 и 9 ∙ 7. Но в качестве опорного, может выступать и случай 9 ∙ 5. От него учащиеся легко переходят к случаям 9 ∙ 4 и 9 ∙ 6.

Вторая «порция», рекомендуемая для запоминания, включает случаи:

9 ∙ 2, 9 ∙ 3, 9 ∙ 4. Здесь внимание учащихся акцентируется на случае 9 ∙ 3.

И наконец, последняя «порция» включает случаи 9 ∙ 8 и 9 ∙ 9, где в качестве опорного может выступать случай 9 ∙ 7.

Таким образом, данная методика формирования навыков табличного умножения позволяет учесть индивидуальные особенности памяти каждого ребенка, создавая условия как для непроизвольного, так и для произвольного запоминания таблицы и активизируя при этом смысловую память.

Положительную роль играет тот факт, что таблица умножения числа 9 является самой большой по объему и все случаи этой таблицы включаются в установку: «Постарайся запомнить».

Так как знакомство с переместительным свойством умножения и его использование при составлении таблицы умножения сокращает объем последующих таблиц, то один табличный случай содержится в таблице умножения числа 2 (2 ∙ 2 = 4). Два случая – в таблице умножения числа 3 (3 ∙ 3, 3 ∙ 2). Таблица умножения числа 4 содержит случаи: 4 ∙ 4, 4 ∙ 3, 4 ∙ 2. Запоминание этого материала не вызывает у детей затруднений.

Если же учащиеся затрудняются при вычислении значений пpoизведений 2 ∙ 6, 2 ∙ 7, 2 ∙ 8, то, используя переместительное свойство умножения, они получают произведения, которые были включены в установку на запоминание:

6 ∙ 2, 7 ∙ 2, 8 ∙ 2.

4. Для организации самостоятельной работы учащихся, целью которой является усвоение таблицы умножения, каждый случай табличного умножения рекомендуется фиксировать на карточке: на одной стороне выражение, например 9 ∙ 3, а на другой его значение 27. Целесообразно на отдельные карточки занести и случай 3 ∙ 9 – 27, так как в конечном итоге ставится задача усвоений одного и другого случая на уровне навыка.

Аналогично следует поступить со всеми случаями табличного деления. Это поможет учащимся действовать самостоятельно при запоминании табличных случаев умножения и деления и осуществлять самоконтроль.