2.6 Параметрические уравнения прямой

Вернемся к каноническому уравнению (2.4)

.

Обозначим через значение отношений в равенстве (2.4). Тогда или . (2.6)

Уравнения (2.6) называются параметрическими уравнениями прямой. Придавая в (2.6) параметру конкретные значения, мы будем получать координаты точек, лежащих на прямой.

2.7 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением оси . Тангенс угла (часто говорят: «угол наклона прямой к оси ») называют угловым коэффициентом прямой. Обозначим: .

Заметим, что для прямой, параллельной оси , угловой коэффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси , угловой коэффици

Рис. 7

ент не существует. Нетрудно показать, что если прямая не перпендикулярна оси и имеет направляющий вектор , то угловой коэффициент .

Для того чтобы вывести уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент , умножим обе части канонического уравнения (2.4) на и учтём, что . Мы получим искомое уравнение в виде . Если теперь ввести обозначение , то это уравнение примет вид

. (2.7)

Оно называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 23. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью угол .

Решение. Найдем угловой коэффициент прямой Далее подставляя в уравнение получим или

2.8 Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Условие совпадения прямых. Две прямые и совпадают тогда и только тогда, когда и .

Условие параллельности прямых.

1) Две прямые и параллельны тогда и только тогда, когда и .

2) Две прямые и параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны.

Условие перпендикулярности прямых.

1) Две прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

2) Две прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и перпендикулярны.

Пример 24. Параллельны ли прямые и ?

Решение. Приведем уравнения прямых к виду прямой с угловым коэффициентом. Получаем Уравнение первой прямой , второй  Так как прямые параллельны.

2.9 Угол между прямыми

Даны прямые и . Требуется найти угол между ними.

Рис. 8

Вычислим

. (2.8)

Обозначения см. на рис. 8.

Для прямых, заданных уравнениями и формула (2.8) примет вид

Пример 25.

Найти тангенс угла между прямыми и .

Решение. Найдем угловые коэффициенты заданных прямых : Воспользуемся формулой (2.8) и найдем

2.10 Расстояние от точки до прямой

На плоскости даны и прямая . Тогда расстояние от точки до прямой находится по формуле

(2.9)

Пример 26. Вычислить расстояние от точки до прямой

Решение. Для заданной прямой вектором нормали является вектор Подставим в формулу (2.9) и вычислим расстояние от точки до прямой

3. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1 Общее уравнение плоскости

Уравнение

(3.1)

в котором , называется общим уравнением плоскости.

3.2 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно .

Пусть в пространстве плоскость задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости. Выведем уравнение плоскости . Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор

Рис. 9

Вектор , поэтому , т.е.

(3.2)

Вектор называется нормальным вектором плоскости, а уравнение (3.2) называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Пример 27. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали

Решение. Воспользуемся уравнением (3.1). В нашей задаче

Имеем . Раскрывая скобки и приводя подобные члены получаем общее уравнение прямой