Синусоидалық токтарды комплекстік жазықтықта кескіндеу

Төменде корсетілген 12-ші суретінде комплекс сандарды кескіндеуге болатын комплекстік жазықтық бейнеленген.

Комплекстік санның нақты (заттық) және жорамал бөлігі болады. Комплекстік жазықтықтың абсцисса өсі бойынша комплекстік санның нақты бөлігін, ал ординатаға жорамал санның бөлігін салады. Нақты мәндер өсіне +1-ді, ал жорамал мәндер өсіне +j-ді ( ) саламыз.

Математика курсынан белгілі Эйлер өрнегі бойынша:

(28)

Комплекстік жазықтықтағы - комплекстік саны векторды бейнелейді, ол бірге тең және заттық мәндер өсімен (+1 өсімен) α - бұрыш жасайды. Альфа (α) бұрышы +1 өсімен сағат тілі бағытына қарсы бағытта саналады. Функцияның модулі

Мұндағы - функциясының +1 өсіне проекциясы cosα - ға, ал +j өсіне проекциясы sinα-ға тең болады. Егер - функциясының орнына I_m - ны алсақ, онда

Комплекстік жазықтықта бұл функция, -функциясы сияқты, +1 өсіне α- бұрышымен бейнеленеді, бірақ вектордың ұзындығы I_m есе көп болады.

Көрсетілген (28) өрнегіндегі α- бұрышы кез-келген бола алады. Сондықтан біз деп, яғни α- бұрышы уақытқа байланысты тура пропорционал өзгереді деп алайық. Сонда

(29)

Мұндағы қосылғышы -дің нақты бөлігін (Re) құрайды, сондықтан

. (30)

ал функциясы өрнегінің жорамал бөлігі (Im) болып табылады, демек

. (31)

Сонымен синусоидамен өзгеретін [(19) және (31)] i - тогын түрінде, немесе дәл осы сияқты, бірақ айналу векторының +j өсіне проекциясы түрінде көрсетуге болады (13 сурет).

Радиотехникалық әдебиеттерде барлық уақытта негіз ретінде синусоида емес, косинусоида қолданылады, демек, ол (30) өрнегі болып табылады.

Комплекстік жазықтықтарда, бірдейлік үшін, уақытқа байланысты синусоидалық түрде өзгеретін вектордың ( болатын уақыт кезеңіндегі) шамасы қабылданған. Сонда вектор мынадай болады:

(32)

мұндағы - модулі I_m - ге тең, комплекстік шама; ψ - бастапқы фазаға тең, комплекстік жазықтықтың +1 өсіне - веторының жасайтын бұрышы.

-шамасын i-тогының комплекстік амплитудасы деп атайды. Комплекстік амплитуда, комплекстік жазықтықта, болған уақыт кезеңіндегі i-тогын бейнелейді. - тогының немесе - кернеуінің үстінде қойылған нүкте бұл шамалардың уақытқа байланысты синусоида заңымен өзгеретінін көрсетеді.

Осы айтқандарға түсініктеме. Айталық, болсын. Осы токты комплекстік амплитуда өрнегі түрде жазу керек. Бұл жағыдайда , Демек, Айталық, комплекстік амплитуда болсын дейік. Енді осы токтың ілездік мәні үшін өрнек жазайық. Комплекстік амплитудадан оның ілездік мәні көшу үшін -ді -не көбейтеміз де, алынған көбейтіндінің (31 өрнегін қараңыз) жорамал бөлігінің алдындағы коэффициентті аламыз:

Токтың әсерлік мәнінің комплекстік немесе - тогының комплексі (комплекстік ток) деп - комплекстік амплитуданы - ге бөлгендегі бөліндіні айтады:

. (33)

Тапсырма 4.

тогының әсерлік мәнінің комплекстік өрнегін жазыңыз.

Шешуі: Токтың әсерлік мәнінің комплексі

Комплекстік жазықтықтағы синусоидалық функцияларға қосу және алу амалдарын қолдану.

Векторлық диаграмма

Жиіліктері бірдей екі токты (і₁ және і₂) қосу керек болсын дейік. Сонда олардың қосындылары сондай жиілікті токты береді:

(34)

Д емек, і - тогының I_m - амплитудасын, ψ - бастапқы фазасын анықтау қажет. Осыған сәйкес комплекстік жазықтықта (14-сурет) і - тогын , ал і₂ - тогын векторлары түрнде бейнелейміз. - және - векторларының геометриялық қосындылары қосынды, токтың комплекстік амплитудасын береді. Токтың -амплитудасы қосынды вектордың ұзындығы, ал бастапқы - фазасы осы вектор мен +1өсінің арасындағы бұрыш ретінде анықталады.

Екі токтың (э.қ.к-нің, кернеудің) айырымын анықтау үшін, комплекстік жазықтықта қосу операциясын емес, қайта, тиісті векторлардың айырымын анықтау операциясын жүргізу керек.

Егер , және - векторлары координата бас нүктесінің айналасында -бұрыштық жылдамдықпен айналатын болса, онда векторлардың бір-бірімен салыстырғандағы орналасулары еш өзгеріссіз қалатынына көңіл аударуымыз керек.

Векторлық диаграмма деп уақыт бойынша бірдей жиілікпен синусоида заңымен өзгеретін, фазаларына байланысты бір-біріне салыстырғанда, дұрыс бағытталулары сақтала отырып салынған, комплекстік жазықтықтағы векторлардың жиынтығын айтады. Векторлық диаграмманың мысалы 14-суретінде берілген.

Электр тізбегінің бөлігі арқылы синусоидалық токтар жүргенде ток көзінің энергиясын тұтыну процесі жүріп жатады. Энергияның келіп тұру жылдамдығы қуатпен сипатталады. Тізбектің бөлігіндегі ілездік қуатты табу үшін ілездік кернеудің (и) мәнін ілездік токтың (і) мініне көбейту қажет

(35)

мұндағы р - уақыттық функциясы.