2. Функция простого процента

Техника простого процента предполагает арифметическую зависимость между суммой вклада, процентной ставкой и периодом начисления. Простой процент начисляют от первоначальной суммы один раз в конце каждого периода депозитного договора. При этом предполагается, что доход в конце каждого периода снимается со счёта (доход не прибавляется к первоначальной сумме), и на депозитном счете остаётся только первоначальная стоимость вклада. В случае начисления простых процентов будущая стоимость вложений (F_V) равна сумме первоначальной стоимости (P_V) и процента, определяемого как произведение процентной ставки (i), первоначальной суммы вклада и количества периодов начисления процентов.

Для одного периода начисления процентов формула определения будущей стоимости будет иметь вид:

F_V =P_V + i^хP_V (1)

где i – размер процентной ставки в долях единицы. Эта величина имеет и другие названия: рыночная ставка, ставка доходности.

Сумму дохода (d) или сумму процентных денег, начисленных за один период, можно рассчитать по формуле

d= i^хP_V (2)

Пример 1. Определите сумму дохода и будущую стоимость вложений. Денежные средства в размере 3000 руб. помещены на депозит в банке сроком на 1 год под 10% годовых.

Решение

Определяем будущую стоимость вложений (наращенную сумму вклада) по формуле 1.

F_V = 3000 + 0,1* 3000 = 3300 руб.

Определяем сумму дохода:

i^хP_V = 0,1 * 3000= 300 руб.

Как было сказано выше, при начислении процентов по технике простого процента за 2,3, …n периодов предполагается, что в конце каждого периода сумму дохода снимаетя со счёта, т.е. проценты за каждый следующий период начисляют с первоначальной суммы P_V. Так, для двух периодов начисления формула (1) примет вид

F_V = P_V + i* P_V + i *P_V = P_V (1+2* i),

для n периодов начисления:

F_V = P_V (1+ n* i). (3)

Сумма дохода, или сумма процентных денег, за n периодов начисления составит

d = n *i *P_V .

Таким образом, формула простого процента предполагает, что будущая стоимость в данном периоде определяется путем прибавления дохода данного периода к будущей стоимости предыдущего периода, причем процентная ставка каждый раз берётся от первоначальной стоимости вложений: в конце каждого периода доход снимается со счета, на котором остается только первоначальная сумма P_V.

Если простые проценты начисляют в течение периода времени t, меньшего одного года, формула (2) принимает вид

F_V = P_V (1+ t* i /T), (4)

где t – число дней начисления процента в течение года;

i – размер процентной ставки, доли единицы;

Т – длительность финансового года в днях.

Формулу (4) используют:

• при обслуживании текущих счетов предприятий;

• при расчёте суммы долга с процентами при сроке операции, меньшем одного года;

• при составлении планов погашения задолженности и т.д.

При расчётах с клиентами значения t и T могут быть выражены точно: в году 365 или 366 дней, в месяце 28, 29, 30 или 31 день; или приближённо: 360 дн., 30 дн.; в некоторых случаях t может быть выражено точно, а T приближённо. Приближённые расчёты используют при некоторых видах операций с населением. Выбор значения Т зависит от того, с каким финансовым инструментом работает инвестор. Так, в банковской системе год считается равным 360 дням (Т=360); в расчётах по операциям с государственными краткосрочными облигациями год приравнивается 365 дням (Т=365).

Пример 2. Предприятие получило от банка кредит под 25% годовых на 3 года, с начислением простых процентов за каждый год. Погашение долга будет осуществлено в конце срока единовременным платежом в размере 910 тыс. руб. Каков размер полученной от банка ссуды?

Из формулы (3) получаем

P_V = F_V /(1+ n* i) = 910 /(1+3 *0,25) = 520 тыс. руб.

Пример 3. Под какой процент годовых получен от банка кредит в размере 450 тыс. руб. на пять лет с начислением простых процентов за каждый год? Долг гасится единовременным платежом в конце срока и составляет 1035 тыс. руб.

Из формулы (3) получим

i = (( F_V/ P_V )– 1):n =((1035/450 ) –1):5 = 0,26 или 26%.

Пример 4. Предприятие положило в банк на депозит сумму в размере 2,5 млн. руб. на 2 года под 7% годовых без капитализации дохода. Определите будущую стоимость вложения.

Согласно формуле (3) получим

F_V = P_V(1+ n * i) = 2,5*(1+ 2*0,07)=2,85 млн. руб.

Пример 5. В каком размере был предоставлен кредит, взятый под простые проценты, если годовая ставка составляет 28%, срок займа 3 месяца, а по его окончании следует погасить задолженность единовременным платежом в размере 760 тыс. руб.?

Из формулы (4) находим

P_V = F_V/(1 + t *i /T ) = 760/(1 + 0,28*3/12)=710,28 тыс. руб.

Пример 6. Предприятию предоставлен кредит в 100 тыс. руб. под 25% годовых с 01.03 по 01.06 текущего года. Определите подлежащую возврату сумму при приближённых значениях t и Т.

Согласно формуле (4) при t = 90 дней и Т = 360 дней получим

F_V = P_V (1 + t* i /T) = 100(1+90*0,25/360) =106,25 тыс. руб.

где 6.25 тыс. руб. (106,25-100) - процентные деньги, уплаченные за пользование кредитом. Их называют стоимостью (или ценой) кредита.

Пример 7. Рассчитайте подлежащую возврату сумму при тех же значениях кредита и процентной ставки, что и в предыдущем примере, но при условии точного измерения показателя t и приближённого измерения показателя Т:

Согласно формуле (4) при Т = 360 дней и учитывая, что в марте 31 день, в апреле 30 дней, в мае – 31 день, получим

F_V = 100(1+ 0,25*(31+30+31)/360) = 106,389 тыс. руб.

Вывод. Что мы видим?.....

Следует помнить о том, что при заключении кредитного соглашения банком может быть установлена постоянная на весь период или изменяющаяся (переменная) процентная ставка. Если устанавливается переменная ставка, будущая стоимость при начислении простых процентов будет определяться по формуле

F_V =P_V (1+ i₁ /m₁+i₂/m₂+..+ i_t /m_t) (5)

где i_t – ставка простых процентов в период t;

m_t – количество периодов начислений по ставке i _t.

Пример 8. Банк предлагает клиенту-заёмщику следующие условия предоставления кредита на 1 год: первое полугодие 40% годовых, каждый следующий квартал годовая ставка возрастает на 4%. Проценты начисляются только на первоначальную сумму кредита. Определите наращенную сумму долга, если пеовоначальная сумма кредита составляла 50 тыс. руб.

По формуле (2.5) имеем

F_V = 50*(1+0,4/2+0,44/4+0,48/4)=71,5 тыс. руб.

Техника исчисления по простым процентам используется при анализе краткосрочных ценных бумаг.