6.5. Уравнения Парка – Горева

Решение дифференциальных уравнений в фазных координатах (6.1) представляет определённые трудности. Поэтому для упрощения решения система фазных координат А, В, С новой координатной системой d, q, 0, жёстко связанной с ротором. Эта система содержит только постоянные коэффициенты.

Связь между проекциями обобщённого вектора на координатные оси систем А, В, С и d, q, 0 может быть представлена (рис.5.4) выражениями:

, (6.5)

Поскольку, если присутствует нулевая последовательность, то она одинаковая во всех трёх фазах и не оказывает влияние на обобщённые векторы, кроме того, нулевая последовательность отсутствует в генераторах, так как нейтрали последних не заземляются, следовательно, ток, напряжение и потокосцепление фазы А в соответствии с (6.5) можно выразить через новые переменные

.

Подставляя эти выражения в (6.1) и имея в виду, что , и - функции времени, при дифференцировании получим

После перегруппировки слагаемых это выражение представим в виде

(6.6)

Уравнение (6.6) должно быть удовлетворено при любом значении . Это возможно только при условии, что каждое из выражений, заключённых в скобки, тождественно равно нулю. Следовательно, данное выражение распадается на два:

, (6.7)

. (6.8)

Выражения для двух других фаз записываются аналогично. Уравнение для обмотки возбуждения остаётся таким же, как и в (6.1).

Таким образом, переход к координатам d, q, 0 позволяет получить систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Уравнения (6.7) и (6.8) отражают теорию двух реакций синхронной машины и называются уравнениями Парка – Горева. Первые слагаемые этих уравнений представляют ЭДС трансформации, так как они определяются изменением величин соответствующих потокосцеплений. Вторые слагаемые – ЭДС вращения – определяются вращением ротора. В нормальном режиме ЭДС трансформации отсутствуют.

В ряде случаев можно упростить расчёт переходных процессов; для этого используется упрощённая форма уравнений Парка – Горева. Пренебрегая апериодическими составляющими токов и активными сопротивлениями, а также учитывая допущение, что отсутствуют качания ротора, уравнения (6.6) и (6.7) запишем в виде:

, ,

которые называются уравнениями Лебедева – Жданова.

По структуре эти уравнения ничем не отличаются от уравнений для симметричных установившихся режимов. Но в переходных процессах, входящие в эти уравнения напряжения и потокосцепления – переменные величины.

6.6. Физическая картина протекания переходного процесса в синхронной машине при трёхфазном кз

При работе синхронного генератора его ротор приводится во вращение первичным двигателем (турбиной) и вращается с синхронной скоростью . К обмотке возбуждения подводится постоянное напряжение от специального источника постоянного тока − возбудителя. По обмотке возбуждения протекает постоянный ток , создающий постоянный магнитный поток обмотки возбуждения , вращающийся со скоростью .

Магнитный поток , пронизывая обмотки статора, индуцирует в них ЭДС, которые при наличии нагрузки создают в обмотках статора фазные токи , , .

В установившемся режиме работы СМ в обмотках статора протекают установившиеся периодические синусоидальные токи с неизменными амплитудами и фазами, являющиеся токами прямой последовательности. Вращающееся магнитное поле токов статора и поле тока обмотки возбуждения имеют постоянную амплитуду и неподвижны относительно ротора. Токи в демпферных контурах отсутствуют.

Процессы в СМ при отсутствии демпферных обмоток. В стационарном режиме создаваемый током статора магнитный поток в основном замыкается, пройдя воздушный зазор через полюсы и массив ротора. Поскольку сопротивление для магнитного потока относительно мало, то индуктивность, пропорциональная величине магнитного потока оказывается большой. В продольной оси ротора она определяет известную синхронную реактивность .

При возникновении КЗ ток в обмотке статора возрастает и, следовательно, увеличивается поток реакции статора . В начальный момент КЗ приращение реакции статора полностью компенсируется ответной реакцией ротора. Приращение потока магнитного поля ротора поддерживается свободными токами в обмотке возбуждения. Поток ротора вытесняет поток статора в зазор, на пути рассеяния обмотки возбуждения. В этих условиях намагничивающая сила статора создаёт меньший магнитный поток, что и обуславливает меньшую величину переходной продольной реактивности по сравнению с реактивностью .

С течением времени за счёт активных сопротивлений в цепи обмотки возбуждения ток ротора и соответствующий ему поток уменьшаются, поток статора входит в ротор, происходит размагничивание магнитной системы машины, что приводит к уменьшению тока в обмотке возбуждения и пропорциональных ему ЭДС и тока статора:

, (6.9)

где - начальный свободный переходный ток, - постоянная времени обмотки возбуждения, если к обмотке статора подключено сопротивление , т.е. постоянная времени свободного переходного тока статора (без учёта демпферной обмотки).

Начальный переходный ток КЗ определяется из формулы (6.3)

.

Установившейся ток, соответствующий принуждённой ЭДС

.

Выражение (6.9) определяет обобщённый ток трёхфазной системы токов статора. Кривая действующего значения тока, соответствующая (6.9) приведена на рис.6.8.

Рис.6.8. Кривая действующего значения тока КЗ при замыкании на выводах статора синхронной машины без демпферных обмоток

Влияние демпферных обмоток на ток короткого замыкания. Упрощённо можно считать, что демпферная обмотка приводит к возникновению дополнительного свободного сверхпереходного тока

,

где - постоянная времени демпферной обмотки при замкнутой обмотке статора, - начальный сверхпереходный ток.

Ток КЗ в любой момент времени

. (6.10)

Выражение (6.6) с двумя постоянными времени с допустимой для практики погрешностью (10-15%) позволяет определить периодический ток. В действительности процесс протекает сложнее. Демпферные обмотки и тело ротора имеют много контуров, свободные токи вначале протекают по поверхности ротора, постепенно проникая во внутрь. Магнитная связь между продольной демпферной обмоткой и обмоткой возбуждения исключает независимое изменение тока в любой из них.

В начальный момент ответная реакция ротора проявляется благодаря демпферной обмотке. Затем апериодический ток проникает в демпферную обмотку. Демпферная обмотка несколько увеличивает свободный переходный ток, но уменьшает его постоянную времени. Кривая тока в соответствии с выражением (6.10) приведена на рис.6.9.

Рис.6.9. Кривая действующего значения тока КЗ при замыкании на выводах статора синхронной машины с демпферными обмотками

Влияние автоматического регулятора возбуждения на процессы в синхронной машине. Автоматическим регулятором возбуждения (АРВ) называется устройство релейной форсировки возбуждения, которое приходит в действие при определённом снижении напряжения генератора (например, при КЗ). Релейная форсировка является простой, но эффективной мерой повышения устойчивости работы генераторов, а также потребителей электроэнергии. Релейная форсировка характеризуется предельным (потолочным) током возбуждения, скоростью нарастания напряжения и вынужденного тока возбуждения.

Существенной особенностью данного режима работы является нелинейность характеристики возбудителя и машины (вследствие насыщения зубцов ротора и других элементов на пути магнитного потока).

Для упрощения решения задачи расчёта тока КЗ характеристики машины примем линейными, соответствующими некоторому среднему насыщению. При этом можно считать, что действие АРВ заключается в увеличении тока КЗ (независимо от наличия демпферных обмоток). Выражение для тока КЗ можно представить в виде

(6.11)

где - предельное приращение установившегося тока КЗ за счет АРВ, – функция, определяющая закон приращения во времени синхронной ЭДС вследствие форсировки возбуждения машины (зависит от постоянных времени сверхпереходного тока и обмотки возбуждения); - периодическая слагающая тока КЗ при отключённом АРВ (вычисляется по формулам (6.9) или (6.10) в зависимости от наличия демпферных обмоток). Кривая тока КЗ при наличии АРВ приведена на рис.6.10. Действие АРВ начинает проявляться спустя некоторое время после КЗ (около 0,5 с) вследствие инерции магнитных потоков, сцеплённых с обмотками.

Рис.6.10. Кривая действующего значения тока КЗ при замыкании на выводах