Обратная матрица

Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если выполняется условие:

,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Для матрицы , у которой , обратная матрица А^-1 находится по формуле:

(2.3)

где А₁₁, А₁₂, …, А₃₃ – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

Пример 6. Для матрицы найти обратную матрицу А^-1 и проверить, что

Найдем следовательно, матрица А – невырожденная и имеет обратную А^-1.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Составляем обратную матрицу А^-1 по формуле

Проверим, что

0. Системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

(2.4)

а₁₁, a₁₂, …, a₃₃ – коэффициенты при неизвестных,

b₁, b₂, b₃ – свободные члены.

Решить систему (2.4) – значит найти такую упорядоченную тройку чисел x₁=c₁, x₂=c₂, x₃=c₃, при подстановке которых в уравнения системы последние обращаются в тождества.

Система уравнений, имеющая решения (единственное или бесчисленное множество), называется совместной, система уравнений, не имеющая решений, – несовместной.

Приведем три способа решений системы (2.4).

1. Правило Крамера

Составим определитель системы из коэффициентов при неизвестных

(2.5)

Если , то система (2.4) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

(2.6)

где , , получены из определителя заменой соответственно первого, второго, третьего столбца столбцом из свободных членов системы (2.4).

(2.7)

Пример 7. Решить систему

Вычисляем определитель системы (2.5) и определители , , (2.6).

следовательно, система имеет единственное решение.

По формулам Крамера (2.6) находим:

Можно сделать проверку, подставив значения неизвестных в уравнения системы.

Итак, x₁=x₂=x₃=1 – решение системы.

2. Метод Гаусса

Рассмотрим систему (2.4):

Метод Гаусса, иначе метод последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. Пусть Исключим из 2-го и 3-го уравнений системы x₁. Получим систему:

Далее исключим x₂ из 3-го уравнения:

Получим систему треугольного вида. Из 3-го уравнения найдем x₃, подставляя его во 2-ое уравнение, найдем x₂, затем из 1-го уравнения найдем x₁, подставляя в него x₂ и x₃.

Пример 8. Решить систему

Переставим 3-е и 1-ое уравнения, чтобы в 1-ом уравнении коэффициент при x₁ был равен 1.

Исключим x₁ из 2-го и 3-его уравнений. Для этого умножим 1-ое уравнение на (-4) и сложим его со 2-м уравнением; затем умножим 1-ое уравнение на (-6) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Исключим x₂ из 3-его уравнения. Для этого умножим 2-ое уравнение на (-13/10) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Из последнего уравнения находим x₃= -1, подставляем во 2-ое уравнение:

-10x₂ - 13(-1) = -7, -10x₂ = - 20, x₂ = 2.

Подставляя x₂ и x₃ в 1-ое уравнение, получим

Итак, решение системы: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = -1.