Уравнения прямой, проходящей через две точки

П усть прямая L проходит через точки . Составим канонические уравнения этой прямой. Для этого за направляющий вектор примем вектор , соединяющий две заданные точки, т.е. . В качестве фиксированной точки возьмем любую из заданных, например М₀. Поэтому из канонических уравнений имеем

.

Пример. Написать уравнения прямой, проходящей через точки и .

Подставим координаты точек в уравнения, получим

.

Угол между двумя прямыми

Пусть в пространстве даны две прямые

,

с направляющими векторами . Тогда  – угол между ними, равен углу, образованному векторами . Поэтому

.

Угол между прямой и плоскостью

Углом  между прямой L, заданной уравнением и плоскостью , заданной уравнением

,

называется угол между прямой L и ее проекцией на плоскость l.

Т.к. – вектор, перпендикулярный плоскости , то и . Из скалярного произведения – направляющего вектора прямой, находим

.

Следовательно .

Точка пересечения прямой и плоскости

Подставим параметрические уравнения прямой

в уравнение плоскости вместо x, y, z. Найдем значение параметра t, соответствующее точке пересечения, а затем, подставив его в параметрические уравнения, определим координаты точки пересечения .

3.1.3. Прямая на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Рассуждая аналогично, как в разделе “Прямая в пространстве”, можно написать следующие уравнения прямой l на плоскости Oxy.

Каноническое уравнение прямой

,

где – точка, через которую проходит прямая; – направляющий вектор прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

,

где – точки, через которые проходит прямая.

Общее уравнение прямой

Прямую на плоскости Oxy можно задать еще как пересечение двух плоскостей

откуда . Обычно для обозначения свободного члена используют букву С и общее уравнение прямой записывают так:

Коэффициенты А и В являются компонентами вектора , нормального к данной прямой.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой , то перенося свободный член С в правую часть уравнения и разделив все его члены на (–С), получим уравнение вида

,

где a, b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, , .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть прямая l, проходящая через точку , составляет угол  ( ) с осью Ox и пересекает ось Oy в точке (см. рис.).

Из треугольника BMK находим

,

откуда, обозначив (угловой коэффициент), получим

,

или .

Угол между двумя прямыми

Угол определяется по следующим формулам.

Если уравнения прямых заданы в виде

,

то .

Если уравнения прямых даны в общем виде

,

то .

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую l, заданную общим уравнением , где – нормальный вектор прямой. Найдем расстояние d от точки до прямой l.

Под расстоянием от точки до прямой понимается длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Формула для нахождения расстояния может быть выведена аналогично расстоянию от точки до плоскости и имеет вид:

3.1.4. Кривые второго порядка

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, для каждой из которых, расстояние до фиксированной точки, называемой центром, постоянно.

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат. Пусть точка - центр окружности, - расстояние от центра до произвольной точки , принадлежащей окружности (радиус окружности). По определению окружности , т.к.

,

откуда . После возведения в квадрат обеих частей равенства, получим уравнение окружности радиуса с центром в точке :

.

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности примет вид: .

Если в левой части уравнения раскрыть скобки, привести подобные и ввести обозначения: , то его можно записать в виде: .

При умножении или делении обеих частей данного уравнения на произвольное число, отличное от 0, коэффициенты при и уже не будут равны 1, но должны быть равны друг другу.

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением .

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные и , и вынесем за скобку имеющиеся общие множители:

.

В скобках выделим полный квадрат:

.

Раскрывая квадратные скобки и сокращая обе части уравнения на 4, получим

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением окружности в общем виде, найдем, что координаты центра а радиус окружности .

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых, сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна и больше расстояния между фокусами.

Выведем уравнение эллипса в декартовой системе координат. Расположим фокусы эллипса на оси симметрично началу координат в точках и . и — расстояния от произвольной точки эллипса до фокусов. Тогда, по определению эллипса , где — сумма расстояний. Из определения также следует, что . Поскольку

,

то .

Преобразуем выписанное равенство, возведя вначале обе его части в квадрат:

Раскроем скобки, приведем подобные:

Введем обозначение и разделим на 2 обе части уравнения:

или .

Снова возведем в квадрат обе части равенства:

.

После упрощения:

или .

Разделив обе части последнего равенства на , получим каноническое уравнение эллипса:

.

В уравнении использовано обозначение .

Из уравнения следует, что эллипс должен проходить через точки , которые называются вершинами эллипса. Соединяя эти точки плавной линией, получим изображение эллипса, заданного каноническим уравнением.

Из рисунка видно, что эллипс имеет две оси симметрии и центр симметрии. Параметры и в уравнении эллипса называются его полуосями, т.к. равны половине длины соответствующих осей симметрии, отношение называется эксцентриситетом эллипса ( ).

Заметим, что если фокусы эллипса расположены на оси , то , если же фокусы расположены на оси , то наоборот, .

Пусть теперь центр эллипса расположен в произвольной точке , а оси симметрии параллельны координатным осям. Проведем через центр эллипса вспомогательную систему координат . В этой системе координат можно получить каноническое уравнение эллипса:

.

Из рисунка видно, что координаты произвольной точки на эллипсе в исходной и вспомогательной системе координат связаны соотношениями:

Используя эти равенства, получим уравнение эллипса со смещенным центром:

.

Чтобы нарисовать эллипс по данному уравнению, нужно отметить центр эллипса , провести через него вспомогательную систему координат , отметить в ней вершины эллипса и соединить плавной линией.

Пример. Изобразить эллипс по его уравнению:

Координаты центра , отметим его на координатной плоскости. Проведем через вспомогательные оси и . Чтобы отметить вершины эллипса вправо и влево от по оси отложим по 4 единицы (т.к. ), а вверх и вниз по оси отложим по 3 единицы (т.к. ). Соединим полученные точки плавной линией.

Указанное в данном примере уравнение можно записать в другом виде:

.

Обе части исходного уравнения умножили на 144.

Раскроем скобки и приведем подобные:

.

В общем виде подобное уравнение можно записать так:

. (*)

Отметим, что в уравнении эллипса коэффициенты и могут различаться по величине, но должны совпадать по знаку.

Обратный переход от уравнения вида (*) к уравнению со смещенным центром, можно выполнить аналогично примеру, рассмотренному в предыдущем пункте.