Розрахунок перехідних процесів

Розрахунок перехідних процесів класичним методом

1. Аналізом схеми до комутації визначаємо i_L(0) ( u_C(0) ).

2. Визначаємо примусову складову шуканого струму i_Lпр (напруги u_Cпр) аналізом кола після комутації.

3. Знаходимо корені характеристичного рівняння p₁, p₂ одним з методів:

3.1. З дифрівняння кола після комутації.

3.2. За допомогою виразу Z_вх(p) = 0 для кола після комутації, де опори індуктивності та ємності записуються відповідно як pL та 1/pC.

3.3. Для кіл 1-го порядку:

тут R_e – еквівалентний опір кола після комутації відносно L або С.

4. Записуємо вільну складову:

5. Записуємо повний розв’язок

6. При t=0 визначаємо постійні А₁, А₂, А₃ ,…, А_n Коли НПУ для цього недостатньо, тоді знаходять і використовують ЗПУ.

7. Записуємо кінцевий результат.

Розрахунок перехідних процесів операторним методом

1. Визначаються незалежні початкові умови iL(0) ( uC(0) ).

2. Складаємо операторну схему кола після комутації.

4

3. Визначається зображення шуканого струму (напруги) за законом Ома, якщо джерело (джерела) знаходяться в одній вітці, чи за методами аналізу складних кіл з системи рівнянь, якщо джерела знаходяться в декількох вітках.

Шляхом перетворень шукається зображення струму (напруги) у вигляді відношення двох поліномів:

4. За допомогою формули розкладання знаходиться оригінал струму в такій послідовності:

4.1.N(p) = 0, звідки знаходимо p₁, p_2, p_{3, …,} p_n.

4.2.Знаходимо N`(p).

4.3.Знаходимо i(t):

5. Примітки:

5.1. Якщо серед коренів рівняння N(p) = 0 є корінь p = 0, то йому відповідає постійна складова M(0)/N`(0) при дії джерела постійної ЕРС (струму).

5.2. При наявності в колі після комутації синусоїдної ЕРС серед коренів N(p) = 0 будуть присутні

корені, p_1,2 = ± jω, а відповідна примусова складова визначається формулою:

5.3. При комплексних спряжених коренях p_1,2 = δ ± jω їм відповідає розв'язок:

5

5.4. Інші корені будуть дійсними, але обов'язково від'ємними.

Розрахунок реакції кола на імпульсну дію часовим методом (за допомогою інтегралів Дюамеля)

1. Розрахунок часових характеристик.

2. Розрахунок реакції кола за допомогою інтеграла Дюамеля в будь-якій зручній формі:

Всі операції виконуються по змінній . Форму запису вибирають, керуючись зручністю та простотою виконання обчислень. Віддають перевагу тій формі, для якої підінтегральний вираз простіший, що залежить від умов конкретної задачі.

Часовими характеристиками називають реакцію кола при нульових початкових умовах на типову дію.

Реакція кола на одиничну функцію 1(t) називається перехідною характеристикою h(t).

6

Перехідна характеристика може мати розмірність опору, провідності або бути безрозмірною.

Реакція кола на дельта-функцію називається імпульсною характеристикою a(t).

Перехідну характеристику h(t) можна визначити класичним методом, подаючи на вхід напругу 1 В або струм 1 А. Крім того перехідну характеристику h(t), наприклад, в якості коефіцієнту передачі визначити через операторну функцію:

Імпульсну характеристику можна визначити за формулами:

Якщо використовується інтеграл Дюамеля з перехідною характеристикою, то послідовність аналізу може бути така:

1. Визначаємо перехідну характеристику h(t) класичним або операторним методом при підключені кола до ЕРС Е = 1В.

2. Заміняємо змінну t на (t - τ)→ h(t - τ).

3. Записуємо аналітичний вираз імпульсної дії на кожному інтервалі.

4. Знаходимо похідну вхідної напруги u₁′(t) на кожному інтервалі.

5. Змінну t заміняємо на τ .

6. Отримані вирази підставляємо в інтеграл Дюамеля.

В кожному інтервалі часу необхідно врахувати дію, яка повністю закінчилася до початку інтервалу часу, який розглядаються.

Верхня границя інтегрування різна для різних інтервалів часу (для того інтервалу, що не пройшов, верхня межа інтегрування змінна, для того, що пройшов,- постійна).

Слід пам’ятати, що інтеграл від добутку довільної обмеженої функції f(t) на δ(t-t₀) дорівнює значенню цієї функції при t = t₀ (якщо точка належить інтервалу інтегрування ) або нулю (якщо t₀ не належить інтервалу інтегрування).

7

Реакція кола на стрибках напруги враховується складовою ±A·h(t - τ), де τ - час дії стрибка.

Знак «+» відповідає випадку, коли в результаті стрибка напруга збільшується на велечину А.

При використанні імпульсної характеристики а(t)послідовність аналізу може бути така:

1. Визначаємо імпульсну характеристику a(t) як реакцію кола на дельта–функцію δ(t), наприклад , операторним методом, де зображений δ(t) → E(p) = 1. Можна також визначити a(t) через похідну h(t).

2. Заміняємо змінну t на t-τ.

3. Записуємо аналітичний вираз u₁(τ). для кожного інтервалу дії імпульса.

4. Змінну t заміняємо на τ → u₁(τ).

5. Отримані виразі підставляємо в інтеграл Дюамеля, який розраховується за рекомендаціями до п.6(див. вище).

Примітка: при використанні інтегралу Дюамеля з імпульсною характеристикою реакція на стрибок ±А окремою складовою, як показано вище, не записується. Це враховує підінтегральний вираз u₁(τ).