3. Нечеткие отношения.

Определение. Пусть U = U₁U₂ ….U_n – прямое произведение универсальных множеств. Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на U с функцией принадлежности _R(х₁, x₂, …, x_n) (x_iU_i), принимающее свои значения на отрезке [0, 1].

В случае n=2 нечеткое отношение между элементам множеств X и Y записывается в виде: xX, yY: xRy. Если X=Y, то нечеткое отношение R называется нечетким отношением на множестве R.

4. Операции над нечеткими отношениями.

Объединение двух отношений. Объединение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁R₂ и определяется функцией принадлежности:

.

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁R₂ и определяется функцией принадлежности:

.

Операция включения. RS тогда и только тогда, когда _R(x,y)≤ _S(x,y).

Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраическое произведение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁R₂ и определяется функцией принадлежности:

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ R₂ и определяется функцией принадлежности:

Дополнение. Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности: .

Максиминное произведение AB нечетких отношений A и B на множестве Z характеризуется функцией принадлежности вида:

Минимаксное произведение AB нечетких отношений A и B на множестве Z характеризуется функцией принадлежности вида:

Максмультипликативное произведение AB нечетких отношений A и B на множестве Z характеризуется функцией принадлежности вида:

Обратное отношение. Обратное к R нечеткое отношение R^-1 на множестве U определяется следующим образом: x R^-1yyRx x, yU.

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R – нечеткое отношение с функцией принадлежности _R(x,y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

Композиция (свертка) двух нечетких отношений. Пусть R₁ – нечеткое отношение R₁ между X и Y; R₂ – нечеткое отношение R₂ между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением:

,

где символом «» обозначена операция выбора наибольшего по y значения, называется (max-min) – композицией ((max-min)-сверткой) отношений R₁ и R₂.

(max-*) композиция. Пусть R₁ – нечеткое отношение R₁ между X и Y; R₂ – нечеткое отношение R₂ между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением:

,

где символом «*» обозначена операция, обладающая свойством ассоциативности и монотонности, называется (max-*) – композицией ((max-*)-сверткой) отношений R₁ и R₂.

Проекции нечетких отношений. Пусть R – нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности _R(x, y). Для произвольного yX нечеткое множество R(y) представляет собой нечеткое множество элементов x множества X, связанных с выбранным y отношением R. Функция принадлежности этого множества имеет вид _R(x, y), где y – фиксированный элемент множества X.

Объединение нечетких множеств R(y) по всем yX называется первой проекцией R⁽¹⁾ нечеткого отношения R. Функция принадлежности .

Вторая проекция R⁽²⁾ нечеткого отношения R определяется: .