2.Ряди Фур’є для парних і непарних функцій

Якщо в ряд Фур’є розкладають непарну функцію (х), то коефіцієнти ряду Фур’є обчислюють за формулами:

тобто ряд Фур’є непарної функції містить тільки синуси.

Якщо - парна функція, то

,

тобто ряд Фур’є парної функції містить тільки косинуси.

3. Ряди Фур’є для функції з періодом T=2l.

Нехай - періодична функція з періодом .

Тоді

Приклад 13.

Розкласти в ряд Фур’є функцію задану графіком

Розв”язання:

Період

Запишемо дану функцію

Це непарна функція, тому

Обчислимо

4.Ряд Фур'є в комплексній формі

Поняття комплексної гармоніки.

Функцію , де , називають комплексною гармонікою. Це періодична функція з періодом . Геометрично представляє вектор який рівномірно обертається проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю обертання . Його модуль дорівнює . В початковий момент часу t=0, цей вектор співпадає з вектором який зображує комплексне число С.

у

Кожна комплексна гармоніка визначається трьома параметрами , А та φ, де - кутова частота, - амплітуда, - початкова фаза.

Розглядають комплексні гармоніки з від”ємними частотами, тобто функція виду , які відрізняються від попередніх лише напрямком обертання вектора.

Поняття тригонометричного ряду

Функціональний ряд виду:

називають тригонометричним рядом в комплексній формі. Як бачимо з означення, цей ряд є сумою комплексних гармонік з частотами: , кожна з яких має свою амплітуду та початкову фазу . Частоту називають основною частотою, оскільки сума ряду є періодичною функцією з періодом . Решта гармонік мають частоти які кратні , тобто та називають вищими гармоніками.

Знаючи цей ряд, можна побудувати розподілення амплітуд та початкових фаз за частотами і одержати амплітудний та фазовий спектри.

Якщо ряд збіжний рівномірно на відрізку [0,Т], де функції ƒ(t), тоді

Тригонометричний ряд Фур”є.

Нехай функція ƒ(t) – періодична з періодом інтегрована на відрізку [0,Т]. Визначимо числа та складемо тригонометричний ряд з цими коефіцієнтами, тобто ряд .

Теорема Діріхлє: Якщо ƒ(t) періодична функція з періодом Т і кусково диференційовна на відрізку [0;Т], тоді

де , а - коефіцієнти Фур”є.

Якщо ƒ(t) неперервна в точці t, то

Тоді з теореми Діріхлє одержимо:

тобто сума ряду Фур”є співпадає з функцією ƒ(t) у всіх точках її неперервності.

Якщо функція ƒ(t) не періодична й визначена на відрізку нескінченної довжини, то розкласти її в ряд Фур’є неможливо, оскільки для неї неможливо побудувати періодичного продовження. В той же час при розв’язанні багатьох інженерних задач, потрібно знайти амплітудний та фазовий спектри функції. Цю задачу можна розв’язати за допомогою перетворення Фур’є.

Нехай функція ƒ(t) кусково диференційовна та абсолютно інтегрована на всій числовій осі. Тоді

Таким чином у всіх точках неперервності ƒ(t) значення інтегралу Фур’є співпадає із значенням цієї функції.

Спектральна функція С(ω) дає можливість побудувати амплітудний та фазовий спектри функції ƒ(t), |С(ω)| - є амплітудою комплексної гармоніки частоти ω, а аргумент С(ω) – початкова фаза цієї гармоніки. Сам інтеграл Фур’є є, якби сума гармонік всеможливих частот від -∞ до +∞. На відміну від ряду Фур’є амплітудний та фазовий спектри інтеграла Фур’є мають вигляд неперервних ліній.

Приклад 14.

Розкласти в ряд Фур’є в комплексній формі функцію ƒ(t)=t, tє[0;1]. Побудувати її амплітудний та фазовий спектри.

Розв”язання:

Т=1 – період функції, - основна частота.

Ряд Фур’є в комплексній формі має вигляд:

,

де

(7)

Тому

Підставивши та враховуючи, що отримаємо

Для знаходження С₀ підставимо К=0 в (7) отримаємо:

Розклад ƒ(t) в ряд Фур’є має вигляд:

Для побудови амплітудного та фазового спектрів врахуємо, що

А мплітудний та фазовий спектри мають вигляд 1 та 2 відповідно.

1)

2)