Решение:

1. Найдем уравнение стороны как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

– каноническое уравнение стороны

2. Найдем уравнение высоты . Поскольку перпендикулярно , то вектор нормали к прямой будет параллелен высоте , т.е. можно рассматривать его в качестве направляющего вектора для высоты .

Найдем вектор нормали к стороне , для этого преобразуем найденное в п. а) уравнение:

Тогда вектор нормали имеет координаты: .

Искомое уравнение высоты напишем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору:

– каноническое уравнение высоты

3. Найдем уравнение медианы . Поскольку точка – середина противолежащей стороны , то найдем ее координаты по формулам:

Тогда уравнение медианы найдем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

– каноническое уравнение медианы

4. Найдем точку пересечения медианы и высоты . Поскольку искомая точка принадлежит одновременно двум прямым, то ее координаты найдем из системы уравнений:

5. Найдем уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне . Поскольку искомая прямая будет параллельна, то в качестве ее направляющего вектора можно взять направляющий вектор стороны , координаты которого найдем из канонического уравнения:

.

Тогда искомое уравнение прямой напишем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору:

– каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне

6. Найдем расстояние от точки до стороны :

32. Даны четыре точки , , , . Составить уравнения:

1. плоскости ;

2. прямой ;

3. прямой , перпендикулярной к плоскости ;

4. прямой , параллельно прямой ;

5. вычислить синус угла между и плоскостью .

, , ,

Решение:

1. Составим уравнение плоскости :

.

Поставим координаты точек и вычислим получившийся определитель:

Отсюда окончательно получим уравнение искомой плоскости в виде:

.

2. Составим уравнение прямой по формуле

.

Подставив в это уравнение координаты точек и , получим уравнение прямой в виде:

3. Составим уравнение прямой , перпендикулярной к плоскости по формуле

,

где , , – координаты направляющего вектора прямой . Поскольку прямая перпендикулярна плоскости , то направляющий вектор должен быть перпендикулярен этой плоскости. Поэтому в качестве направляющего вектора можно взять вектор нормали к плоскости , т.е. .

Отсюда искомое уравнение высоты примет вид:

4. Составим уравнение прямой , параллельно прямой , по формуле

,

где , , – координаты направляющего вектора прямой .

Поскольку прямая параллельна прямой , то направляющий вектор должен быть также параллелен этой прямой. Поэтому в качестве направляющего вектора можно взять направляющий вектор прямой , т.е. .

Отсюда искомое уравнение прямой примет вид:

5. Вычислим синус угла между и плоскостью

Для этого воспользуемся формулой синуса угла между и плоскостью : ,

где – вектор нормали к плоскости .

Вектор , нормальный к плоскости , имеет вид: , модуль этого вектора .

Найдем вектор и его модуль:

Используя указанную выше формулу, находим

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3

1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

1. 

2. 

3. 

4. 

12. Найти производные данных функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

Прологарифмируем обе части данного равенства:

Продифференцируем обе части полученного равенства, учитывая, что , т.е. является функцией переменной :

5. 

Продифференцируем обе части полученного равенства, учитывая, что , т.е. является функцией переменной :

6. 

21. Найти производную данной функции

Решение:

32. Найти предел, используя правило Лопиталя

41. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Решение:

Вычислим производную функции:

Приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки:

Поскольку наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в критической точке, либо на концах отрезка, то вычислим значения функции в этих точках:

Из вычисленных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

,

52. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график.

Решение:

1. Найдем область определения функции

Поскольку , то .

Тогда

2. Исследуем функцию на четность/нечетность

Следовательно, функция является четной (график симметричен относительно оси ).

3. Функция не является периодической

4. Найдем вертикальные асимптоты графика функции

Поскольку , то вычислим односторонние пределы функции в точках и :

– вертикальная асимптота графика функции

– вертикальная асимптота графика функции

5. Найдем наклонные асимптоты графика функции

– горизонтальная асимптота графика функции

6. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

С осью : (решений нет)

Нет точек пересечения с осью

С осью :

– точка пересечения графика функции с осью

7. Найдем промежутки возрастания/убывания функции, точки экстремума

Найдем производную функции:

Приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки:

Отмечаем найденные критические точки на числовой прямой и расставляем знаки производной на получившихся интервалах:

+

+

–

–

Таким образом, функция возрастает на и убывает на .

– точка максимума функции,

8. Найдем промежутки выпуклости/вогнутости функции, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

Приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки:

Отмечаем найденные критические точки на числовой прямой и расставляем знаки второй производной на получившихся интервалах:

+

–

+

Таким образом, функция выпуклая вверх на и выпуклая вниз на . Точек перегиба у графика функции нет.

9. На основании данных пунктов 1) – 8) строим график функции