10. Распределение Фишера

НСВ с плотностью распределения

имеет распределение Фишера (F-распределение) с l и m числом степеней свободы (l,m –натуральные числа, параметры распределения).

Среднее значение и дисперсия ξ ~ равны: .

Пусть . Тогда . Алгоритм моделирования определяется этим соотношением.

Тесты проверки точности моделирования непрерывных случайных величин

1. Критерий Колмогорова

Данный критерий позволяет осуществить проверку гипотез в условиях, когда функция распределения модельного закона известна полностью, то есть не зависит от неизвестных параметров. Он основан на анализе мер уклонения эмпирической и модельной функций распределения.

Эмпирическая функция распределения по случайной выборке реализаций СВ ξ определяется по формуле: .

Введём статистику , называемую расстоянием Колмогорова между и .

Известно, что гипотеза H0 верна и n→∞ (практически n > 20), то статистика имеет распределение Колмогорова с функцией распределения вида:

Критерий согласия Колмогорова представляет собой следующее решающее правило:

принимается гипотеза: H0, если , H1 в противном случае.

Порог – квантиль уровня распределения Колмогорова, - задаваемый пользователем уровень значимости.

2. Критерий хи-квадрат Пирсона

Данный критерий широко используется в задачах статистического анализа данных для проверки соответствия экспериментальных данных заданному модельному непрерывному или дискретному закону распределения, определяемому функцией распределения . При этом истинные значения параметров могут быть неизвестны. В задачах проверки точности моделирования значения задаются при описании условий экспериментов, поэтому функцию можно считать полностью заданной.

Пусть как и при построении гистограммы вычислены частоты попадания выборочных значений в K ячеек гистограммы. Гипотетические вероятности попадания значений ξ в ячейки гистограммы при истинной гипотезе H₀ и полностью заданной функции равны:

где - границы ячеек гистограммы.

Статистика критерия проверки гипотез (15) имеет вид:

и характеризует взвешенную сумму квадратов уклонений частот от гипотетических значений . Чем больше , тем “сильнее” выборка не согласуется с H₀.

Статистика (16) имеет, в предположении, что гипотеза H₀ верна, -распределение с K-1 степенями свободы.

- критерий Пирсона основан на (16) и имеет вид:

где порог критерия находится из ограничения на ошибку первого рода: и имеет вид , где G(.) – функция распределения статистики (16).