Метод Бернуллі

Розв’язок ДР шукаємо у вигляді добутку двох функцій u та v. Підставляючи у = uv у ДР, дістаємо рівняння

uv + uv + p(x)uv = q(x).

Зведемо це рівняння до системи ДР:

uv + p(x)uv = 0, uv = q(x).

Із першого рівняння знаходимо змінну v:

Із другого рівняння знаходимо змінну u:

Остаточно маємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді

Приклад 2. Знайдемо загальний розв’язок ДР ху + у = 3х².

Спочатку відшукуємо змінну v:

.

Потім знаходимо змінну u:

Отже, загальний розв’язок лінійного ДР буде такий:

Відповідь:

ЗАВДАННЯ: перевірити знання за допомогою тестових питань. Виконати контрольні завдання.

Тестові питання:

1 Диференціальним рівняння називається рівняння, що

А) має похідну;

Б) зв’язує між собою незалежну змінну x, функцію y та її первісні або інтеграли;

В) зв’язує між собою незалежну змінну x, функцію y та її похідні або диференціали;

Г) інтегрується.

2 Порядок диференціального рівняння визначає:

А) найвищий степінь змінної х;

Б) найвищий степінь диференціала;

В) можливий степінь;

Г) кількість сталих величин рівняння.

3 Диференціальне рівняння y′+p(x)y=q(x), в якому величини y та y′ знаходяться в першому степені і не перемножуються між собою, називається:

А) рівнянням з відокремлюваними змінними;

Б) рівнянням у повних диференціалах;

В) однорідним рівнянням;

Г) лінійним рівнянням.

4 Рівняння  є рівнянням:

А) лінійним;

Б) з розділяючимися змінними;

В) однорідним;

Г) Бернуллі;

Д) в повних диференціалах.

5 Рівняння  є рівнянням:

А) лінійним;

Б) з розділяючимися змінними;

В) однорідним;

Г) Бернуллі;

Д) в повних диференціалах.

6 Рівняння  є рівнянням:

А) лінійним;

Б) з розділяючимися змінними;

В) однорідним;

Г) Бернуллі;

Д) в повних диференціалах.

Контрольні завдання

1 Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння зі змінними, що розділяються:

.

2 Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння першого порядку.

.

3 Знайти частинний розв’язок лінійного диференціального рівняння першого порядку.

.

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка розв’язаних контрольних завдань.

ВИКЛАДАЧ – Данилова М.В.

Самостійна робота № 20 (6 год.)

ТЕМА: Диференціальні рівняння другого порядку

МЕТА: знати поняття диференціального рівняння другого порядку, їх види, вміти розв’язувати диференціальні рівняння другого порядку.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Барковський В.В. Вища математика для економістів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – С. 327-331.

2. Грисенко М.В. Математика для економістів. Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посіб. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. / М.В. Грисенко. - К. : Либідь, 2007. - 720 с. – С. 632-647.

3. Лейфура В.М. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ. навч. закладів І-ІІ рівнів акредитації / В.М. Лейфура, Г.І. Голодницький, Й.І. Файст – К.: Техніка, 2003. – 640 с. – С. 564-577.

4. Овчинников П. П. Вища математика. Збірник задач: Навч. посіб. для студ. вищ. техн. навч. закл.:У 2 ч. Ч. 2. Звичайні диференцальні рівняння. Операційне числення. Ряди. Рівняння математичної фізики. Стійкість за Ляпуновим. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики. Методи оптимізації і задачі керування. Варіаційне числення. Числові методи / П. П. Овчинников, П. С. Кропив'янський, С. П. Полушкін, І. І. Рябець, О. Ф. Кривий; ред.: П. П. Овчинников. - 2-е вид., стереотип.. - К. : Техніка, 2004. - 376 с. – С. 26-31, 35-38.

ПЛАН

1. Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку.

2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.