1.1 Двухфазная система обслуживания
Схема двухфазной системы обслуживания показана на рисунке 1.1.
Если состояние первой фазы обозначить символом i, а состояние второй фазы — символом j, то множество состояний двухфазной системы обслуживания будет следующим:
{(i, j)}={(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (b,1)}. (1.1)
Рассматривая вероятности переходов из одного состояния в другое во времени, можно получить следующие дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний pij(t) двухфазной системы:
(1.2)
Система (1.2) — это система однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ее можно представить в матричном виде:
где
— вектор размера 5×1 с элементами
,
— матрица коэффициентов (из
и
)
размера 5×5.
Как известно, для того чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Для системы (1.2) определитель (характеристический определитель) будет иметь вид
Раскрывая характеристический определитель, получим характеристическое уравнение. И если действительные части корней характеристического уравнения будут иметь отрицательные значения, то решение системы дифференциальных уравнений будет устойчивым, т.е. стремиться к установившемся значениям.
Для интегрирования системы (1.2) будем задавать естественные начальные условия, т.е. такие, когда в начальный момент времени, равный нулю вероятность отсутствия требований в системе равна единице, а остальные вероятности в начальный момент времени равны нулю:
(1.3)
1.2 Трехфазная система обслуживания
В трехфазной системе каждая из фаз может быть свободной (символ 0), занятой (символ 1), а фазы 1 и 2 могут быть к тому же заблокированы (символ b). Если состояние первой фазы обозначить символом i, состояние второй фазы — символом j, состояние третьей фазы — символом k, то возможные состояния трехфазной системы будут следующими:
(1.4)
В соответствии с возможными состояниями
(1.4) трехфазной системы можно получить
систему дифференциальных уравнений
13-го порядка относительно вероятностей
состояний
:
-
(1.5)
Система (1.5) — это система однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ее также можно представить в матричном виде:
где — вектор состояний системы 13-го порядка, А — матрица постоянных коэффициентов размера 13×13.
Для решения системы (1.5) следует задать начальные условия, которые могут быть естественными, т.е.
(1.6)
Отметим также, что система линейных дифференциальных уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее характеристический определитель будет равен нулю. В матричном виде получаем так называемое характеристическое уравнение
где Е — единичная матрица того же размера, что и матрица коэффициентов А, s — скалярная в общем случае комплексная переменная, относительно которой решается характеристическое уравнение. Если действительная часть корней характеристического уравнения отрицательна, то решение системы дифференциальных уравнений будет устойчивым, т.е. будет иметь установившееся значение (вектор решений).
Таким образом, система дифференциальных уравнений (1.5) с начальными условиями (1.6) представляет собой математическую модель трехфазной системы массового обслуживания с нулевой вместимостью блоков ожидания. Схема трехфазной модели системы обслуживания показана на рисунке 1.2.
