2.2.11. Расчет многопустотной панели покрытия по предельным состояниям второй группы

а). Определение геометрических характеристик поперечного сечения.

Круглое очертание пустот заменим эквивалентным квадратным со стороной

h = 0,9d = 0,9×15,9 = 14,31 см.

Толщина полок эквивалентного сечения

h’_f = ½ (22-14,31)= 3,845 см.

Ширина ребра b = 116 –6×14,31 = 30,41см.

6 – количество пустот в плите;

Ширина пустот 116 –30,41= 85,86см

α = Е_s /Е_b = 19×10⁴ / 2,7×10⁴ = 7,037.

Площадь приведенного сечения:

А_red = А+α×А_sp +α×А_s = b’_f× h’_f +b(h – h’_f) +α×А_sp + α×А_s = 116×3,845 + 30,41(22 – 3,845) + 7,037×3,93 +7,037×0,63 =1030,16 см².

Рис. 12. Эквивалентное поперечное сечение панели

Статический момент площади приведенного сечения относительно нижней грани:

S _red = S + α×S_sp +α×S_s = b’_f× h’_f (h – h’_f/2) + b(h – h’_f) (h – h’_f)/2 + α×А_sp× a_sp+α×А_s×a_s =

116×3,845(22-3,845/2) + 30,41(22- 3,845)×(22 – 3,845)/2 + 7,037×3,93 ×3,0 +7,037×0,63×2,0 = 14054,3 см³.

Расстояние от нижней грани до центра тяжести приведенного сечения

y₀= S _red /А_red =14054,3 см³/ 1030,16 см²=13,6 см.

Расстояние от центра тяжести напрягаемой арматуры до центра тяжести приведенного сечения

е₀ = y₀ - a_sp = 13,6 – 3 = 10,6 см.

Момент инерции приведенного сечения относительно его центра тяжести

J _red = b’_f×(h’_f)³/12 + b’_f×h’_f(h - y₀ - h’_f/2)² +b(h – h’_f)³/12 +b(h – h’_f)( y₀ –(h – h’_f)/2)² +αА_sp ×е₀² = 116×3,845³/12 +116×3,845(22- 13,6 – 3,845/2)² + 30,41(22 – 3,845)³/12 +30,41(22– 3,845)(13,6 -(22 – 3,845)/2)² + 7,037×3,93 ×10,6 ² = 48822,41см⁴.

Момент сопротивления приведенного сечения относительно нижней грани

W _red = J _red / y₀ = 48822,41см⁴/13,6 см =3589,9 см³;

то же относительно верхней грани:

W ’_red = J _red / h -y₀ = 48822,41/22 – 13,6 = 5812,2 см².

Расстояние от ядровой точки, наиболее удаленной от сжатой зоны (верхней), до центра тяжести приведенного сечения

r = y ×W _red /А_red

y = 1,6 - G_b /R_{b, ser}

0,7 ≤ у ≤ 1,0

G_b /R_{b, ser} - для предельного состояния11 группы предварительно принимаем 0,75, тогда

у = 1,6 – 0,75 = 0,85,

r = 0,85 ×3589,9 /1030,16 = 2,96 см.

Расстояние от ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой зоны (нижней)

r_inf = y×W’ _red /А_red = 0,85×5812,2 /1030,16 = 4,8 cм.

Упругопластический момент сопротивления по растянутой зоне

W_pl = γ×W _red;

где γ – коэффициент, учитывающий влияние неупругих деформаций бетона растянутой зоны в зависимости от формы сечения;

γ = 1,75 для тавровых сечений с полкой в сжатой зоне

W_pl = 1,75×3589,9 = 6282,3 см³.

Упругопластический момент сопротивления по растянутой зоне в стадии изготовления и обжатия элемента

W’_pl = γ×W’ _red = 1,5 ×5812,2 = 8718,3 см³,

где γ = 1,5 – для элементов таврового сечения с полкой в растянутой зоне.

б) Предварительное напряжение и его потери

При расчете используем электротермический способ натяжения арматуры на упоры.

Для обеспечения 3-й категории требований трещиностойкости предварительное напряжение G _sp назначаем из условия

G _sp + Р≤ R_{s, ser}

G _sp = 590 МПа.

Первые потери G_los1 (до окончания обжатия бетона).

1) От релаксации напряжений арматуры (для стержневой арматуры):

G₁ = 0,1 ×G _sp - 200 = 0,1×5900 – 200=390 кгс/см².

2) От температурного перепада: для бетона класса В 25

G ₂ = 12,5×Δt = 12,5×65=810 кгс/ см², где разность между температурой нагреваемой арматуры и неподвижных упоров (вне зоны нагрева), воспринимающих усилие натяжения, ºС. При отсутствии точных данных Δt принимается = 65 ºС.

3) от деформации анкеров, расположенных у натяжных устройств:

G₃ = Δℓ/ ℓ× E_s = 0,2 / 600×1,9^×10⁶ = 633 кгс/ см², где

Δℓ=0,2 см; ℓ= 600 см- длина плиты

4) От трения арматуры:

G₄ = 0 – при натяжении арматуры на упоры.

д) От деформации стальной формы:

G₅ = 300 кгс/ см²- при отсутствии данных о технологии изготовления.

Сумма всех этих потерь: G₁ + G ₂ + G₃ + G₅ = 2133 кгс/ см².

390 кгс/см²+810 кгс/ см²+633 кгс/ см²+300 кгс/ см²= 2133 кгс/ см²

Начальное напряжение с учетом этих потерь

G_sp1=G _sp-( G₁ + G ₂ +G₃ +G₅)=5900 кгс/см²-( кгс/см²+810кгс/см²+633кгс/см²+300 кгс/см²) =3767кгс/см² .

Усилие обжатия с учетом этих потерь

Р₀ = G _sp1× А_sp= 3767 ×3,93 = 14804,31 кгс.

5) От быстронатекающей ползучести бетона, подвергнутого тепловой обработке (в зависимости от отношения G_вp /R_вp):

G_вp=Р₀ /А_red+Р₀×е₀×y₀ / J _red=14804,31/1030,16+14804,31×10,6 ×13,6/48822,41= 58,08кгс/ см².

Величина передаточной прочности бетона из условия G_вp /R_вp≤ 0,75, отсюда

R_вp = G_вp /0,75 =58,08 / 0,75= 77,4 кгс/ см².

Принимаем R_вp = 61 кгс/ см², тогда G_вp /R_вp = 58,08/77,4= 0,750.

G₆ = 0,85 ×400×G_вp /R_вp – для бетона, подвергнутого тепловой обработке.

G_вp /R_вp≤ α,

т.е. α= 2,5+ 0,25 R_вp≤ 0,8;

α = 2,5+ 0,25×77,4=21,8 , принимаем α=0,8;

G_вp /R_вp= 0,75 < α= 0,8, следовательно, G₆ = 0,85 ×400×0,75 = 255 кгс/ см².

Итого первые потери

G_los1 = G₁ + G ₂ + G₃ + G₅+ G₆ =2133+255 = 2388 кгс/ см².

Усилие предварительного обжатия с учетом первых потерь

Р₁ = (G _sp - G_los1) А_sp= (5900 -2388) 3,93 = 13802,16 кгс.

Вторые потери G_los2 (происходящие после обжатия бетона)

1) От релаксации напряжений стержневой арматуры:

G₇ = 0 – при натяжении арматуры на упоры.

2) От усадки бетона: для бетона класса В 25, подвергнутого тепловой обработке при атмосферном давлении G₈ = 350 кгс/ см².

3) От ползучести бетона (в зависимости от отношения G_вp /R_вp):

G_вp = Р₁/А_red +Р₁×е₀×y₀/J _red =13802,16/1030,16+13802,16 ×10,6×13,6/48822,41=54,14 кгс/см².

R_вp = G_вp / 0,75 =54,14/ 0,75 = 72,1 кгс/ см².

Принимаем R_вp = 75 кгс/ см².

Тогда G_вp /R_вp = 54,14 /75= 0,72 <0,75

G₉ =1500 ×α ×G_вp /R_вp= 1500×0,85×0,72= 918 кгс/ см²,

где α = 0,85 – коэффициент для бетона, подвергнутого тепловой обработке при атмосферном давлении.

Суммарные вторые потери:

G_los2 = G₈ + G₉= 350 +918 =1268 кгс/ см².

Полные потери напряжения:

G_los = G_los1 + G_los2 =2388 кгс/ см² +1268 кгс/ см²= 3656кгс/ см²,

G_los =3656 кгс/ см² > 1000 кгс/ см² (2,р.1.25), так как условие выполняется.

Напряжение в напрягаемой арматуре с учетом всех потерь:

G_sp2 = G_sp - G_los =5900- 3656 = 2244 кгс/ см².

Усилие обжатия с учетом всех потерь:

Р₂ = G_sp2×А_sp= 2244×3,93 = 8818,92 кгс.

в) Расчет по образованию трещин, нормальных к продольной оси элемента

Расчет производится из условия

М_r ≤ M_crc ;

M_crc = R _{bt, ser} × W_pl + М_rр,

где М_rр = Р₂(ℓ₀ + r) = 8818,92 (10,6 +2,96)= 119584,5 кгс·см;

R _{bt, ser}== 1,60 МПа = 16 кгс/ см²; W_pl = 1,75×3589,9 = 6282,3 см³;

M_crc =16×6282,3 +119584,5 =220101,3кНсм = 22,01 кНм;

М_r =М_n = q_n×ℓ²/8=8,3 ×5,86² /8 = 35,62 кНм; q_n=6,97-общая нормативная нагрузка;

q_n = q_n +b = 6,97×1,2 = 8,3кНм;

М_r =35,62 кНм < M_crc =17,90 кНм – условие не выполняется, значит, трещины, нормальные к продольной оси элемента, образуются и необходимо проверить ширину их раскрытия.

г) Расчет по образованию трещин, наклонных к продольной оси элемента.

Расчет производится из условия

G_mt ≤ γ_b4 R _{bt, ser},

где γ_b4 – коэффициент условий работы бетона.

γ_b4=(1 - G_mс / R _{b, ser}) /0,2 + α×β, не > 1,0;

α = 0,01 – для тяжелого бетона;

β = 25 – класс бетона по прочности на сжатие, МПа.

α×β = 0,01×25 = 0,25 < 0,3, следовательно, в формулу подставляем α×β = 0,3;

G_mt и G_mс – значения главных растягивающих и сжимающих напряжений в бетоне.

G_х = Р₀ / А_red =14804,31 /1030,16 =14,3 кгс/см²;

G_у = 0;

τ_ху = Q_n×S/ J _red b;

Q_n= q_n×ℓ / 2= 6,97×1,2×5,86 /2 = 24,5 кН;

S – статический момент части сечения, расположенной выше центра тяжести, относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения;

S = b’_f×h’_f(h - y₀ - h’_f/2)² + b(h - y₀ – h’_f)(h- y₀ – h’_f)²/2= 116× 3,845 (22 – 13,6 – 3,845/2)² + 30,41(22 – 13,6 – 3,845)×(22 – 13,6 – 3,845)²/2 = 4326,1 см².

b =30,41см.- ширина ребра; J _red = 48822,41см⁴

Тогда

τ_ху = 24,5 ×10²×4326,1 /48822,41×30,41= 7 кгс / см².

Главные растягивающие напряжения

__________ __________

G_mt = - G_х / 2 + √ G_х²/4 + τ_ху² = -14,3 / 2 + √14,3 ² /4 +7² = -7,15+ 10=2,85 кгс / см².

Главные сжимающие напряжения

__________ __________

G_mс = - G_х / 2 - √ G_х²/4 + τ_ху² = - 14,3 / 2 - √14,3 ² /4 +7² = -7,15-10 =17,15 кгс / см².

γ_b4=(1- G_mс/ R_{b, ser})/(0,2 +α×β)

γ_b4=(1 -17,15/185) /(0,2 + 0,3) =1,81 > 1,0;

следовательно, принимаем γ_b4=1.

G_mt ≤ γ_b4 ×R _{bt, ser},

G_mt =3,35 кгс / см² < R _{bt, ser} = 16, 0 кгс / см²;

G_mс≤ γ_b4 R _{bt, ser};

G_mс =17,15 кгс / см²< R _{bt, ser} = 16, 0 кгс / см².

Следовательно, трещин, наклонных к продольной оси элемента, не образуется. Расчет по раскрытию трещин можно не проводить.

д) Расчет прогиба плиты

Прогиб определяется от постоянной и длительной нагрузок, предельный прогиб f = 3 см.

Вычисляем параметры, необходимые для определения прогиба плиты с учетом трещин в растянутой зоне. Заменяющий момент равен изгибающему от постоянной и длительной нагрузок:

М_дл = (7×1,2) 5,86² / 8 =31, 84 кНм.

q=7 кН/м² - итого расчетной нагрузки

Суммарная продольная сила равна усилию предварительного обжатия с учетом всех потерь и при γ_sp=1.

N_tot = P₂ = 8818,92 кгс = 88,1 кН.

Эксцентриситет е_{s, tot} = М_дл / N_tot =3184 /81,1 = 39,26 см.

Коэффициент φ_ls = 0,8 при длительном действии нагрузок.

φ_m = R _{bt, ser} ×W_pl / (М_r - М_rр) ≤ 1.

φ_m = 0,16 ×6282,3 / (3562 -1195,84) = 0,4

Коэффициент, характеризующий неравномерность деформации растянутой арматуры на участке между трещинами:

Ψ_s = 1,25 - φ_ls ×φ_m – (1 - φ_m²)/ (3,5 – 1,8 φ_m) е_{s, tot} / h₀ ≤ 1;

е_{s, tot} / h₀ ≥ 1,2 /φ_ls;

39,26/ 19 = 2,06 >1,2 /0,8 = 1,5;

Ψ_s = 1,25 - 0,8×0,4– (1 -0,4²)/((3,5 – 1,8×0,4) 2,06)= 0,58 < 1.

Вычисляем кривизну оси при изгибе:

ξ = 1 / [β×(1 +5(δ+ λ)/ 10 μα)]+ (1,5 + φ_f)/ 11,5 е_{s, tot} / h₀ – 5 ≤ 1.

ξ = 1 /[1,8 ×((1 +5(0,17+0,51))/ 10×0,01×0,01) ]+ (1,5 +0,57)/ 11,5×3,92/19 – 5 =0,78<1.

β =1,8 – для тяжелого бетона; α = 0,01и μ= 0,01– для тяжелого бетона;

δ = М_дл / b× h₀² ×R _{b, ser} = 3485 / 30,41×19² ×1,85 = 0,17;

φ_f = (b’_f – b) h’_f / b× h₀ = (116 –30,41) 3,845 / 30,41×19 = 0,57;

λ = φ_f (1 - h’_f / 2×h₀ ) = 0,57(1-3,845/2×19)=0,51;

е). Расчет по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента

а _crc = δ×φ_{l ×}η×G_s/E_s ×20 ×(3,5 - 100μ)³√d,

δ=1 для изгибаемых элементов;

φ_l = 1 от кратковременного действия нагрузки;

φ_l = 1,5 от продолжительного действия нагрузки;

η= 1 при стержневой арматуре периодического профиля;

d = 10 мм диаметр арматуры;

μ= 0,01;

G_s – приращение напряжений от действия внешней нагрузки.

G_s = М-Р×(z - е_sp)/ А_sp×z .

Приращение напряжений в растянутой арматуре от действия постоянной и длительной нагрузок:

М = М_{n дл} = (6,22 ×1,2×5,86²) /8 =32,03 кНм.

q = 6,22 кН/м²- итого нормативной нагрузки; ℓ=5,86

Р = Р₂ =88,18 кН;

z = 16,91 см – плечо внутренней пары сил;

е_sp = 0, т. к. усилие обжатия приложено в центре тяжести площади нижней напрягаемой арматуры.

G_s = 3203 –88,18×16,91/ 3,93 ×16,91= 25,76 кН/см².

Приращение напряжений в арматуре от действия полной нагрузки

М =М_n =35,62 кНм,

G_s = (3562 –88,18×16,91) / 3,93 ×16,91= 31,16 кН/ см².

Ширина раскрытия трещин от непродолжительного действия всей нагрузки

а_crc1 =1×1×1×31,16/1,9^×10⁴×20(3,5–100×0,01)³√10=0,17 мм.

Ширина раскрытия трещин от непродолжительного действия постоянной и длительной нагрузок

а _crc2 = 1×1×1×25,76 /1,9^×10⁴×20 (3,5 – 100×0,01)³√10 = 0,14 мм.

Ширина раскрытия трещин от постоянной и длительной нагрузок

а _crc3 = 1×1,5×1× 25,76 /1,9^×10⁴×20(3,5 – 100×0,01)³√10 = 0,21 мм.

Предельная ширина раскрытия трещин:

непродолжительная а _crc = 0,4 мм,

продолжительная а _crc = 0,3 мм.

Непродолжительная ширина раскрытия трещин:

а _crc = а _crc1 - а _crc2 + а _crc3 =0,17 – 0,14 + 0,21 = 0,24.

Продолжительная ширина раскрытия трещин:

а _crc = а _crc3 = 0,21

Трещиностойкость обеспечена.

ж) Подбор диаметра и класса стали для монтажных петель

Определяем вес элемента с учетом коэффициента динамичности

Р = G ×k_д = 22,5 ×1,5= 33,75 кН.

G = 0,22м ×6м×20=26,4

Нагрузка, приходящаяся на одну монтажную петлю

Р/4 = 39,6 / 4 = 9,9 кН.

Принимаем диаметр 10 мм класса А II.