Взаимно однозначные соответствия
Из всевозможных соответствий, которые можно установить между элементами двух множеств Х и Y, нас будут интересовать такие, при которых каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу из множества Х. Такие соответствия называют взаимно однозначными.
Рассмотрим примеры таких соответствий.
1. Пусть А = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}. Соответствие между элементами этих множеств установлено при помощи графа.
Так как каждому элементу множества А (из каждой точки, изображающей элементы множества А, выходит стрелка) соответствует единственное число из множества В и каждое число из множества В соответствует только одному элементу множества А, то данное соответствие между множествами А и В взаимно однозначное.
Пусть Х – множество точек координатной прямой, а Y = R. Так как с введением координат на прямой каждой точке сопоставляется единственное число (координата этой точки) и каждое действительное число сопоставляется единственной точке этой прямой(имеющей это число своей координатой), то установленное соответствие взаимно однозначное.
Пусть Х – множество точек координатной плоскости, а Y – множество пар действительных чисел. Если каждой точке плоскости сопоставляется единственная пара действительных чисел (координаты этой точки) и каждая пара действительных чисел сопоставляется единственной точке плоскости (имеющей эту пару чисел своими координатами), то соответствие между множествами точек координатной плоскости и множеством пар действительных чисел взаимно однозначное.
Практические задания к некоторым главам теории множеств
2.1. Практические упражнения по теме «способы задания множеств. Операции над множествами»
1. Записать путем перечисления элементов:
а) множество простых чисел первого десятка;
б) множество букв в слове «грамматика»;
в) множество цифр в числе 222222222;
г) множество правильных несократимых дробей со знаменателем 9;
д) множество несократимых дробей с однозначным знаменателем, заключенных между числами 0 и ½;
е) множество десятичных дробей, при записи которых используется цифра 2 три раза, а цифра 5 один раз.
2. Пусть М – множество букв в слове «платок». Является ли подмножеством множества М множество букв в словах: толпа, каток, парта, потолок?
3.Дано множество К = {70, 106, 223, 304}. Составить подмножества множества К из чисел, у которых:
а) цифры десятков четные;
б) цифры десятков являются нечетными;
в) сумма цифр числа равны 7;
г) сумма цифр числа отлична от 7.
4. Какие элементы входят в пересечение и объединение множеств букв в словах:
а) «математика» и «грамматика»;
б) «насос» и «сосна»;
в) «логово» и «голова»;
г) «мода» и «круг».
5. В классе 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Четыре человека имеют «тройки» только по русскому языку, 4 – только по математике и 11 человек – только по физике. Семь человек имеют «тройки» по математике и физике. Пять человек имеют «тройки» по всем трем предметам. Сколько человек учатся без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов? (Решить с помощью кругов Эйлера)
6. Выясните, является ли конечным или бесконечным множество К, и укажите, если возможно, его наименьший и наибольший элементы, зная что:
а) К - множество трехзначных четных чисел;
б) К – множество простых чисел, меньших 30;
в) К – множество натуральных делителей числа 505;
г) К – множество корней уравнения
(х – 2) (х + 11) (х – 12) (х + 13) (х – 14) = 0;
д) К – множество целых чисел, удовлетворяющих условию -4,5 < x < 5,5;
е) К – множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству |x| < 6;
ж) К – множество решений неравенства x > 15;
з) К – множество решений неравенства x < 12;
и) К – множество трехзначных чисел, кратных 3;
к) К – множество четырехзначных чисел, кратных 5;
л) К – множество составных чисел, меньших 30;
м) К – множество двузначных чисел, кратных 3.
7.Найдите n(A), если:
а) A = {0, 2, 5, 7, 17, 25};
б) А – множество натуральных делителей числа 28;
в) А – множество трехзначных чисел;
г) А – множество букв в слове «кошка».
8. С – множество цифр в числе 2347. Является ли множество цифр в числе х подмножеством множества С, если:
х = 32; х = 47; х = 43443; х = 27433; х = 43572?
9.А – множество двузначных чисел. Составьте подмножество множества А, в котором каждый элемент – число:
а) оканчивающееся цифрой 9;
б) записанное одинаковыми цифрами.
10.Записать пересечение, объединение, разность множеств X и Y и изобразить кругами Эйлера:
а) X = {62; 31; 74; 7; 17; 20}
Y = {4; 5; 17; 8; 62; 3; 7}
б) X = {31, 19, 14}
Y = {3; 19; 2; 21; 31; 17; 14}
в) X = {16; 14; 7; 35}
Y = {10; 8; 53; 41}.