Образец решения задач
Задача 1. В вазе имеется 9 цветов: 5 роз и 4 гвоздики. Взяли 3 цветка.
Найти вероятность того, что
а) все три цветка розы;
б) взяты розы или гвоздики;
в) из трёх взятых цветов одна роза и две гвоздики.
Решение
а) Все три цветка розы.
n-
число всех
исходов (взяли 3 цветка из 9),
m-число
благоприятных исходов (все три цветка
розы: взяли 3 цветка из 5 роз),
или 11,9%
Ответ:
б) Взяты розы или гвоздики.
n- число всех исходов (взяли 3 цветка из 9),
m-число
благоприятных исходов (взяты розы или
гвоздики: взяли 3 цветка из 5 роз или
3 цветка из 4 гвоздик),
или 16,7%
Ответ:
в) Из трёх взятых цветов одна роза и две гвоздики.
n- число всех исходов (взяли 3 цветка из 9),
m-число
благоприятных исходов (из трёх взятых
цветов одна роза и две гвоздики: взяли
1 цветок из 5 роз и
2 цветка из 4 гвоздик),
или 35,7%
Ответ:
Задача 2. В группе 30 человек, из которых 12 девочек. Для участия в соревнованиях выбрали 5 человек. Найти вероятность того, что
а) выбраны все мальчики;
б) в соревнованиях участвовали три девочки.
Решение
а) Выбраны все мальчики.
n-
число всех
исходов (взяли 5 человек из 30),
m-число благоприятных исходов (выбраны все мальчики: взяли 5 мальчиков из 18)
б) В соревнованиях участвовали 3 девочки (а значит и 2 мальчика).
n- число всех исходов (взяли 5 человек из 30),
m-число благоприятных исходов (в соревнованиях участвовали 3 девочки, а значит и 2 мальчика: взяли 3 девочки из 12 и 2 мальчика из 18)
Ответ:
а)
б)
Задача 3. Из 500 деталей, среди которых 100 бракованных, наугад берутся 2 детали. Какова вероятность того, что из двух взятых деталей одна бракованная?
Решение
n-
число всех
исходов (взяли 2 детали из 500),
m-число благоприятных исходов (взяли 1 деталь из 100 бракованных и 1 деталь из 400 годных)
Ответ:
Задача 4. Некто, набирая номер телефона, забыл последнюю цифру. Какова вероятность того, что набирая её случайным образом, он правильно наберёт номер?
Решение
n-
число всех
исходов (всего 10 цифр),
m-число
благоприятных исходов (1 единственный
вариант),
Ответ:
Задача 5. Телефонный номер состоит из шести цифр, две из которых неизвестны. Найти вероятность того, что
а) были угаданы обе цифры;
б) обе угаданные цифры различны.
Решение
а) Были угаданы обе цифры (и первая, и вторая).
n-
число всех
исходов (у одной цифры 10 вариантов и
у другой
цифры 10 вариантов) , т. е.
m-число благоприятных исходов (1 единственный вариант),
б) Обе угаданные цифры различны.
n- число всех исходов (у одной цифры 10 вариантов, а у другой цифры 9 вариантов) , т. е.
m-число благоприятных исходов (1 единственный вариант),
Ответ:
а)
б)
Задача 6. На перекрёстке 4 светофора. Какова вероятность того, что везде горит жёлтый свет?
Решение
n-
число всех
исходов (у каждого светофора 3 варианта
света: зелёный, жёлтый, красный) , т. е.
m-число
благоприятных исходов (у каждого
светофора горит жёлтый свет ),
Ответ:
Задача 7. Из цифр от 0 до 9 выбирают две. Какова вероятность того, что
а) сумма цифр равна 5;
б) сумма цифр делится на 10?
Решение
а) Сумма цифр равна 5.
n-
число всех
исходов (взяли 2 цифры из 10) ,
m-число
благоприятных исходов (сумма цифр равна
5: 1+4; 4+1; 2+3, 3+2), т. е.
б) Сумма цифр делится на 10.
n- число всех исходов (взяли 2 цифры из 10) ,
m-число
благоприятных исходов (сумма цифр
делится на 10: 1+9; 9+1; 2+8; 8+2; 3+7; 7+3; 4+6; 6+4; 5+5),
Ответ:
а)
б)
Задача 8. В первом ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5, во втором с номерами 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика взяли по одному шару. Какова вероятность того, что
а) сумма очков делится на 11;
б) сумма очков меньше или равна 11?
Решение
а) Сумма очков делится на 11.
n-
число всех
исходов (из каждого ящика взяли по одному
шару: 1 из первого и
1 из второго)
,
m-число
благоприятных исходов (сумма очков
делится на 11: 1+10; 2+9; 3+8, 4+7; 5+6), т. е.
б) Сумма очков меньше или равна 11.
n- число всех исходов (из каждого ящика взяли по одному шару: 1 из первого и 1 из второго) ,
m-число благоприятных исходов (сумма очков меньше или равна 11:
1+6; 1+7; 1+8; 1+9; 1+10; 2+6;
2+7; 2+8 2+9; 3+6; 3+7; 3+8; 4+6; 4+7; 5+6),
Ответ: а)
б)
Задача 9. В ящике 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Из ящика взяли 2 шара. Какова вероятность того, что
а) оба шара белые;
б) оба белые или оба чёрные;
в) один шар белый и один шар чёрный;
г) хотя бы один белый?
Решение
а) Оба шара белые.
n- число всех исходов (взяли 2 шара из 10) ,
m-число
благоприятных исходов (оба шара белые:
взяли 2 шара из 6 белых),
б) Оба белые или оба чёрные.
n- число всех исходов (взяли 2 шара из 10) ,
m-число
благоприятных исходов (оба белые или
оба чёрные: взяли 2 шара из 6 белых или
2 шара из 4 чёрных),
в) Один шар белый и один шар чёрный.
n- число всех исходов (взяли 2 шара из 10) ,
m-число
благоприятных исходов (один шар белый
и один шар чёрный :взяли 1 шар из 6 белых
и
1 шара из 4 чёрных),
г) Хотя бы один белый.
n- число всех исходов (взяли 2 шара из 10) ,
m-число
благоприятных исходов (хотя бы один
белый: или 2 белых, или
1 белый и 1 чёрный),
Ответ:
а)
б)
в)
г)
Задача 10. В лотерее 1000 билетов, из них 100 выигрышных. Купили 3 билета. Какова вероятность, что
а) один выигрышный;
б) хотя бы один выигрышный?
Решение
а) Один выигрышный.
n-
число всех
исходов (взяли 3 билета из 1000) ,
m-число
благоприятных исходов (один выигрышный,
а значит 2 проигрышных: взяли 1 билет из
100 и 2 билета из 900),
б) Хотя бы один выигрышный. Найдём вероятность того, что все 3 билета проигрышные.
n- число всех исходов (взяли 3 билета из 1000) ,
m-число
благоприятных исходов (все 3 билета
проигрышные: взяли 3 билета из 900),
Искомая
вероятность равна:
Ответ:
а)
;
б)
Задача 11. В группе из семи человек 4 хорошиста и 3 отличника. Для участия в конкурсе выбрали три человека. Какова вероятность, что из них не более одного отличника?
Решение
Не более одного отличника, т. е. один отличник или ни одного (1 или 0)
n-
число всех
исходов (отобрали 3 человека из 7),
m-число
благоприятных исходов ( взяли 0 человек
из 3 отличников и 3 человека из 4 хорошистов
или 1
человека из 3отличников и 2 человека из
4 хорошистов)
Ответ:
Литература
Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник.- М.: Высшая школа , 2013.-480 с.:ил.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов.- М.: Высш. шк., 2014.-304 с.:ил.
Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа ,2014.-380 с.
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 5-е изд., перераб. И доп.-Ростов на/Д: Феникс, 2013.-380с.-(Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия поматематике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов.- 12-е изд.,перераб.. – М.:Высш.шк. 2014.- 495 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособ. - М.: Высш. шк., 2013г.- 400 с.: ил.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособ. для вузов. Изд. 8-е, стер. - М.: Высш. шк., 2013 г.- 479с.: ил.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для програмистов: Учебник для вузов.4-е изд.-СПб.: Питер,2014.-384 с.; ил.