IV. Контрольные задания и методические указания по подготовке к итоговой аттестации
Задача I.
Вычислить предел:
Решение:
Задача II.
Вычислить неопределённые интегралы:
Решение:
Полагая 
,
получим:
Задача III.
Вычислить определённые интегралы:
Решение:
Интегрируем «по частям»:
Пусть 
,
тогда 
,
Имеем:
Интегрируем подстановкой.
Положим 
,
тогда 
.
Если
,
то 
;
если 
,
то 
.
Поэтому
Заметим, что геометрически данный интеграл площадь круга:
Задача IV.
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
Решение:
в) В данном случае подынтегральная
функция 
претерпевает разрыв в точке 
,
лежащей внутри отрезка интегрирования
.
Имеем:
Задача V.
Вычислить объём тела, образованного
вращением вокруг оси
кривой: 
.
Объём фигуры, образованной вращение
кривой 
вокруг оси
вычисляется по формуле:
Задача VI.
Решить дифференциальные уравнения:
Решение:
Рассмотрим 2 метода решения.
1) Метод вариации произвольной постоянной
(метод Лангранжа). Решим сначала уравнение
(линейное однородное уравнение).
Разделяя переменные, получаем:
Найдём решение исходного (линейного
неоднородного) уравнения в виде 
,
где 
- неизвестная функция, которую надо
найти.
Имеем:
Подставим 
в исходное уравнение (линейное
неоднородное).
Найденную функцию 
подставим в выражение 
и получим 
- общее решение исходного уравнения.
Найдём частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям 
.
Получим 
- искомое частное решение.
2) 
Метод подстановки (введение новых
функций 
).
Пусть 
,
где 
– неизвестные функции.
Имеем:
Поскольку одну из функций (
мы можем выбрать произвольно, положим
,
при интегрировании мы опускаем модуль
и 
,
т.к. нас интересует только одна функция,
обращающая в нуль второе слагаемое
.
Итак,
Подставим найденное выражение для 
;
получаем:
Получено то же общее решение, что и методом вариации произвольной постоянной.
Это линейное уравнение первого порядка.
Поэтому полагаем
.
Тогда 
.
Подставляя выражение для 
и
в данное уравнение, после группировки
членов получим:
Выберем функцию 
так, чтобы выполнялось равенство
После распределения переменных это уравнение приме вид:
Почленное интегрирование дает 
Подставив найденное выражение функции
в равенство
,
получим 
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными. Для нахождения функции
разделяем переменные и интегрируем:
Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:
Задача VII.
Решить дифференциальные уравнения:
Решение:
а) Составим характеристическое уравнение.
Для этого заменим 
соответственно на
.
Характеристическое уравнение имеет вид:
Данное уравнение имеет комплексные корни:
так как 
,
то 
.
.
Это линейное неоднородное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами,
имеющие вид 
,
где 
- какой-либо многочлен степени 
.
Общее решение данного уравнения есть
сумма общего решения соответствующего
линейного однородного уравнения
и частного решения данного неоднородного
уравнения 
:
Частное решение
следует искать в виде 
,
где 
многочлен степени
;
число 
может принимать три значения:
1. 
,
если число 
не является корнем характеристического
уравнения 
.
2. 
,
если число
является однократным корнем
характеристического уравнения: 
.
3. 
,
если число
является двукратным корнем
характеристического уравнения 
.
Составим характеристическое уравнение,
заменив 
и
соответственно на
.
Характеристическое управление 
имеет корень 
кратности 2.
Общее решение линейного однородного уравнения найдём по формуле:
Подставив корень характеристического уравнения, получаем:
В исходном уравнении правая часть имеет вид:
,
т.е. 
Так как 
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение данного
линейного неоднородного уравнения
ищется в виде 
.
Для наводнения постоянных 
находим первую и вторую производные
от
:
Подставляя в исходное уравнение 
,
имеем 
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях 
,
получаем систему:
,
из которой находим 
Следовательно, 
Общее решение уравнения 
.
в) Найти общие и частное решения дифференциального уравнения.
Найдём общее решение дифференциального уравнения.
Для этого составим характеристическое уравнение, заменив соответственно .
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
.
Общее решение линейного однородного уравнения найдем по формуле:
Подставив корни характеристического уравнения, получаем:
Так как – однородный корень характеристического уравнения, то частное решение данного линейного неоднородного уравнения ищется в виде:
Подставляя в исходное уравнение 
и 
имеем:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:
,
из которой находим
Следовательно, 
Общее решение уравнения 
Найдём частное решение, удовлетворяющее условиям:
.
Дифференцируя 
,
получим 
Подставляя начальные условия в 
,
получаем систему:
Отсюда 
Искомое частное решение имеет вид 
Задача VIII.
Определить область сходимости степенного ряда.
Решение:
Для ряда 
имеем
Найдём радиус сходимости ряда по формуле Д’Аламбера:
Следовательно, ряд обязательно абсолютно сходится, если:
Исследуем сходимость ряда на концах
промежутка 
.
Если 
,
то получаем ряд 
.
Это гармонический ряд. Он расходится.
Если 
,
то получаем ряд 
.
Имеем знакочередующийся ряд
Применим признак Лейбница:
Ряд
сходится, если 
,
т.е. модуль общего члена убывает и
стремится к нулю при 
.
,
т.е. модуль общего члена ряда убывает.
,
т.е. модуль общего члена стремится к
нулю при
.
Ряд сходится условно.
Область сходимости есть промежуток
,
сходимость на (
1.2;
0.8) абсолютная.