2. Перемещения при изгибе. Основные понятия

В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиностроительных и строительных конструкций должны быть рас­считаны не только на прочность, но и на жесткость. К деталям, рассчитываемым на жесткость, относятся, в частности, валы зубчатых и червячных передач и многие части металлорежущих станков.

Расчет на жесткость элемента конструкции, имеющего форму бруса, заключается в опреде­лении наибольших перемещений его поперечных сечений и со­поставлении их с допускаемыми, зависящими от назначения и условий эксплуатации данного элемента. Например, рас­считывая вал на жесткость при кручении, ограничивают углы поворота поперечных сечений вокруг его продольной оси. Необходимо также помнить, что решение статически неопределимых задач на растяжение (сжатие) связано с составлением уравнений пере­мещений, т. е., по существу, с определением линейных переме­щений поперечных сечений рассчитываемых брусьев.

Расчет на жесткость при изгибе, очевидно, требует предва­рительного изучения вопроса о перемещениях поперечных сече­ний балок. Рассмотрим простую консоль, нагруженную на свободном конце силой F, линия действия которой совпадает, с одной из главных осей поперечного сечения балки (рис.1).

При деформации балки центры тяжести ее поперечных сече­ний получают линейные перемещения, а сами сечения повора­чиваются вокруг своих нейтральных осей. Допущение о мало­сти перемещений позволяет считать, что направления линейных перемещений перпендикулярны продольной оси недеформированного бруса. Эти перемещения принято называть прогибами. Прогиб произвольного сечения обозначим v_, а наибольший прогиб — стрелу прогиба — f. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса; т. е. ось изогнутого бруса, условно называют изогнутой осью или чаще упругой линией. Эта линия — плоская кривая, лежащая в сило­вой плоскости. Совпадение плоскости деформации с плоскостью действия нагрузки является характерной особенностью прямого изгиба. Более того, можно сказать, что именно по этой причине рассматриваемый случай изгиба называют прямым.

Рис.1. Линейное и угловое перемещение сечений балки.

При повороте поперечные сечения остаются перпендику­лярными изогнутой оси бруса, следовательно, угол поворота поперечного сечения θ равен углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированного бруса.

Таким образом, ордината упругой линии и угол наклона ка­сательной, проведенной к ней в данной точке, полностью опре­деляют линейное и угловое перемещения соответствующего поперечного сечения балки; следовательно, отыскание этих перемещений сводится к исследованию формы упругой линии.

3. Определение перемещений с использованием интеграла Мора

Метод Мора — универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных систе­мах, состоящих из шарнирно или жестко соединенных прямых или кривых брусьев. Наибольшее применение метод Мора нашел для ба­лок и рам, испытывающих деформацию изгиба, с целью определения линейных и угловых перемещений конкретных сечений.

Порядок определения перемещений. К балке, осво­божденной от внешних нагрузок, к сечению, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила, если определяется линейное перемещение, или единичный момент, если определяется угловое перемещение, в направлении искомого перемещения.

Заданная балка с внешними нагрузками и балка с единичной нагрузкой разбиваются на одинаковые участки, и на каждом из них одинаковым образом задается координата произволь­ного сечения.

Составляются уравнения для изгибающего момента по участ­кам в заданной балке и в балке с единичной нагрузкой. Искомое линейное v и угловое перемещение θ определяется с помощью интегралов Мора:

, θ = (1)

где, –уравнение изгибающего момента от действующих нагрузок на i – товом участке,

- уравнение изгибающего момента от единичной нагрузки (силы или момента) на i – товом участке,

E – модуль продольной упругости материала балки,

I – осевой момент инерции сечения балки.

Произведение E I называется жесткостью балки.

Так как жесткость балки представляет собой постоянное число, то его можно вынести за знак интеграла.

, θ = (2)

Интегрирование проводится по длине каждого участка, сумми­рование—по всем участкам.

При применении метода Мора положительное значение искомого перемещения получается в том случае, если его направление сов­падает с направлением приложенной единичной силы (единичного момента). Знак минус указывает на то, что искомое перемещение направлено против действия этой единичной силы (единичного мо­мента)

I I

I

Пример 3.1.

q M G RВ RA PP а) С 50 X1 - 15X12 -20 X2 A B а = 1м l = 4м RA' 1P=1 RB' - X1 4 б) - X2 С B A RA' M=1 RA" RВ" в) B A - 1 С - X1 4 RA" 2,85 мм Θ2 Θ1 г) v, мм Рис.2

Используя интеграл Мора определить прогиб и угол поворота крайнего правого сечения С. Изобразить изогнутую ось балки. М = 20 кН·м, Р = 20 кН, q = 30 кН /м, Е = 2· 105Мпа, = = 2·1011 Па, Jx = 3500 cм4 = = 35·10-6 м4

Решение.

1.Определение сил реакций в опорах.

Для определения R_А и R_В требуется составить уравнения равновесия. Вначале надо определить равнодействующую равномерно распределенной нагрузки (РРН). На рис.2а она обозначена буквой G и приложена к точке пересечения диагоналей прямоугольника, т.е. в центре участка. Равнодействующая равна произведению интенсивности q на длину участка l₁, к которой приложена РРН.

G = q· l₁, l₁ = 4 м. G = 30·4 = 120 кН.

Составляем уравнения суммы моментов относительно опор А и В.

; – G ·2 + R_В · l – М – Р · а = 0

R_В = кН.

; –R_A · l + G·2 – М - Р · а = 0

R_А = кН.

После определения неизвестных сил реакций надо сделать проверку. В качестве проверки используют уравнение, которое не применялось в расчетах.

; R_A – G + R_В – Р = 0

50 – 120 + 90 – 20 = 0

140 – 140 = 0

0 = 0

Если проверка не сойдется, то дальнейшие расчеты проводить нельзя, т.к. они будут неправильными. В таком случае надо пересчитать значения сил реакций.

2.Составление уравнений изгибающих моментов от действующих нагрузок.

Разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых меняется размер, либо приложена внешняя нагрузка. Силы реакций тоже относятся к внешним нагрузкам. В данном примере имеется два участка. Обозначим их слева направо римскими цифрами. На этих участках надо составить уравнения моментов изгибающих учитывая внешние нагрузки. Для составления уравнений используют метод сечений. В определенном месте участка мысленно проводят вертикальное сечение, которое делит балку на две части. Одну часть балки оставляют, а другую, отбрасывают. Оставляют обычно ту часть балки, на которую действует меньше нагрузок. Взаимодействие частей друг на друга заменят внутренними силовыми факторами. При изгибе ими являются поперечная сила Q и момент изгибающий _и.

Уравнение момента изгибающего представляет собой уравнение суммы моментов от нагрузок, действующих на оставшуюся часть, относительно точки пересечения сечения с балкой.

I

– й участок. Расстояние от левого края балки до сечения обозначим х ₁.

0 х ₁ l = 4 Уравнение М_и имеет вид:

I I

М_и1 = R_A · х ₁ – q· х₁ · = 50 х ₁ – 30 = 50 х ₁ – 15 х₁²

^-– й участок. На втором участке удобнее оставить правую часть балки, т.к. на неё действует только одна нагрузка – сила Р.

0 х ₂ а = 1 Уравнение М_и на втором участке имеет вид:

М_и2 = – Р · х ₂ = – 20 х ₂

3.Составление уравнений изгибающих моментов от единичной силы.

К точке, в которой надо определить перемещение надо приложить единичную силу(рис.2б). Эта сила равна единице и не имеет размерности. Для составления уравнений М_и на двух имеющихся участках, требуется определить силы реакций в опорах.

R_B^'· 4 – 1· 5 = 0 R_B^' =

– R_A^'· l – 1· а = 0 R_A^' =

Проверка. – R_A^' + R_B^' – 1 = 0

Уравнения М_и на участках при действии на точку С единичной силы.

I

– й участок. 0 х ₁ l = 4 М_и1 = – R_A^'· х ₁ =

I I – й участок. 0 х ₂ а = 1 М_и2 = – 1 · х ₂ = – х ₂

4.Определение прогиба балки в точке С как суммы интегралов.

Вычисление 1– го интеграла. l = 4 м.

кН· м³ = – 26,6 · 10³ Н · м³

Вычисление 2– го интеграла. а = 1м.

кН·м³ = 6,66 · 10³ Н·м³

Прогиб балки в точке С. E I_x = 2 · 10³ · 35 · 10^-6 = 70 · 10⁵ н · м².

(– 26,6 · 10³ + 6,66 · 10³) = = – 0,00285 м = –2,85 мм.

Перемещение получилось с отрицательным знаком. Это говорит о том, что его надо откладывать в сторону, противоположную направлению единичной силы, т.е. вверх.

5.Определение угла поворота сечения балки в точке С.

При определении углового перемещения к рассматриваемому сечению прикладывают единичный момент (рис.2в). Он равен единице и не имеет размерности. Данный момент направляют в сторону предполагаемого поворота сечения. Определяем силы реакций в опорах.

R_A^" R_A^" .

R_B^" R_B ^"= .

Проверка. R_A^" R_B ^" M =0;

5 5=0.

Составление уравнения М_и.

I

– й участок. 0 х ₁ l = 4; М_и1 = R_A^"· х ₁ = .

I I

– й участок. 0 х ₂ а = 1; М_и2 = – 1.

Угловое перемещение сечения С.

Θ_с = .

Вычисление 1– го интеграла. l = 4 м.

=

= –12,5

= –26,66 кН·м² = –26,66 ·10³ Н·м².

Вычисление 2– го интеграла. а = 1 м.

=20 · =10 кН·м² =10·10³ Н·м²

Угловое перемещение сечения С.

Θ_с = =

= 0,13

Знак минус у полученного углового перемещения говорит о том, что сечение С поворачивается в сторону, противоположную направлению единичного момента.