4.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа

Найбільш загальною формулою параболічного інтерполювання є інтерполяційна формула Лагранжа. Задача параболічного інтерполювання в цьому випадку формулюється наступним чином: на відрізку у вузлах інтерполяції задається функція своїми значеннями

треба побудувати багаточлен так, щоб у вузлах інтерполяції його значення збігалися зі значеннями заданої функції, тобто

При такій постановці задачі вузли інтерполяції можуть довільно відстояти один від одного на відрізку , інакше кажучи, вузли інтерполяції нерівновіддалені, тобто ; величина h називається кроком інтерполяції.

Задача має рішення, якщо степінь багаточлену , яким замінюється невідома функція , не вище n.

Будемо подавати багаточлен у вигляді

де – невідомі постійні коефіцієнти, які підлягають визначенню.

Із початкових умов відомо, що функція у вузлах інтерполяції приймає значення Тоді у вузлі інтерполяції х_і інтерполяційний багаточлен приймає вигляд

Запишемо ці рівняння у вигляді системи з n + 1 невідомими

(1)

де х_і і у_і (і = 0, 1, …, n) – табличні значення аргументу і функції.

Невідомі можна знайти за формулами Крамера:

…,

де Δ – визначник системи (1). Якщо , то система має єдине рішення. Дійсно, визначник цієї системи

відрізняється від нуля, якщо різні. Знайшовши коефіцієнти можна представити інтерполяційний багаточлен у вигляді

Практичне застосування цього методу є малоефективним. Тому для побудови інтерполяційного поліному скористуємося методом, який має назву наближення Лагранжа.

Багаточлен краще шукати у такій формі

(2)

Для того, щоб виконувалися умови , функція повинна в точці дорівнювати одиниці і нулю в інших точках, тобто функція має задовольняти умовам

Рівність нулю i-го багаточлена в усіх вузлах інтерполяції, крім , означає, що можна записати у такому вигляді

(3)

Коефіцієнт А_і вводиться для того, щоб у точці виконувалася умова Для знаходження А_і необхідно у виразі (3) замість х підставити його значення у вузлі інтерполяції і отриманий результат прирівняти до одиниці. У результаті отримаємо:

Звідси знаходимо:

Маючи А_і, можна отримати функцію . Для цього необхідно знайдене значення А_і підставити до виразу (3)

Тепер можна знайти інтерполяційний поліном Лагранжа шляхом підстановки до виразу (2)

(4)

Запишемо вираз (4) в розгорнутому вигляді

(5)

У дещо скороченому вигляді інтерполяційний багаточлен Лагранжа у формі (5) записується наступним чином

Інтерполяційна формула Лагранжа суттєво спрощується, якщо вузли є рівновіддаленими, тобто де h – крок інтерполяції. Введемо позначення . Тоді можна записати у вигляді

Оскільки

то

(6)

Можна побачити, що одна частина добутку в знаменнику дорівнює

а друга частина

Якщо помножити чисельник і знаменник правої частини виразу (6) на отримаємо

де

Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для рівновіддалених вузлів записується у наступному вигляді